Reprezentați grafic funcția y x2 3x 2. Funcții pătratice și cubice

Secțiuni: Matematică

Subiect:„Reprezentarea grafică a unei funcții pătratice care conține un modul.”
(Folosind graficul funcției y = x 2 - 6x + 3 ca exemplu.)

Ţintă.

• Investigați locația graficului unei funcții pe planul de coordonate în funcție de modul.
• Dezvoltați abilitățile în construirea unui grafic al unei funcții care conține un modul.

În timpul orelor.

1. Etapa de actualizare a cunoștințelor.

a) Verificarea temelor.

Exemplul 1. Construiți un grafic al funcției y = x 2 - 6x + 3. Aflați zerourile funcției.

Soluţie.

2. Coordonatele vârfului parabolei: x= - b/2a = - (-6)/2=3, y(3) = 9 – 18 + 3 = - 6, A(3; -6).

4. Zerurile funcției: y(x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 4 3 = 36 – 12 = 24, D>0,

x 1,2 = (6 ± )/2 = 3 ± ; B(3 - ;0), C(3 + ;0).

Graficul din Fig. 1.

Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții pătratice.

1. Determinați direcția „ramurilor” parabolei.

2. Calculați coordonatele vârfului parabolei.

3. Notați ecuația axei de simetrie.

4. Calculați mai multe puncte.

b) Luați în considerare construcția graficelor de funcții liniare care conțin modulul:

1. y = |x|. Graficul funcției din figura 2.

2.y = |x| + 1. Graficul funcției din Figura 3.

3. y = |x + 1|. Graficul funcției din figura 4.

Concluzie.

1. Graficul funcției y = |x| + 1 se obține din graficul funcției y = |x| transfer paralel la vectorul (0;1).

2. Graficul funcției y = |x + 1| obţinut din graficul funcţiei y = |x| transfer paralel la vector (-1;0).

2. Partea operațională și executivă.

Etapă muncă de cercetare. Lucrați în grupuri.

Grupa 1. Construiți grafice ale funcțiilor:

a) y = x 2 - 6|x| + 3,

b) y = |x 2 - 6x + 3|.

Soluţie.

1.Tratați un grafic al funcției y = x 2 -6x+3.

2. Afișați-l simetric față de axa Oy.

Graficul este în figura 5.

b) 1. Construiți un grafic al funcției y = x 2 - 6x + 3.

2. Afișați-l simetric față de axa Ox.

Graficul funcției din figura 6.

Concluzie.

1. Graficul funcției y = f(|x|) se obține din graficul funcției y = f(x), afișat relativ la axa Oy.

2. Graficul funcției y = |f(x)| se obține din graficul funcției y = f(x), afișată în raport cu axa Ox.

Grupa 2. Construiți grafice ale funcțiilor:

a) y = |x 2 - 6|x| + 3|;

b) y = |x 2 - 6x + 3| - 3.

Soluţie.

1. Afișăm graficul funcției y = x 2 + 6x + 3 raportat la axa Oy, rezultând un grafic al funcției y = x 2 - 6|x| + 3.

2. Afișăm graficul rezultat simetric față de axa Ox.

Graficul funcției din figura 7.

Concluzie.

Graficul funcției y = |f (|x|)| obtinut din graficul functiei y = f(x), afisat secvential fata de axele de coordonate.

1. Graficul funcției y = x 2 - 6x + 3 este afișat în raport cu axa Ox.

2. Transferați graficul rezultat în vectorul (0;-3).

Graficul funcției din figura 8.

Concluzie. Graficul funcției y = |f(x)| + a se obține din graficul funcției y = |f(x)| transfer paralel la vectorul (0,a).

Grupa 3. Reprezentați grafic funcția:

a) y = |x|(x - 6) + 3; b) y = x|x - 6| + 3.

Soluţie.

a) y = |x| (x - 6) + 3, avem un set de sisteme:

Reprezentăm grafic funcția y = -x 2 + 6x + 3 la x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.

Graficul funcției din figura 9.

b) y = x |x - 6| + 3, avem un set de sisteme:

Construim un grafic al funcției y = - x 2 + 6x + 3 la x 6.

2. Coordonatele vârfului parabolei: x = - b/2a = 3, y(3) =1 2, A(3;12).

3. Ecuația axei de simetrie: x = 3.

4. Mai multe puncte: y(2) = 11, y(1) = 3; y(-1) = - 4.

Construim un grafic al funcției y = x 2 - 6x + 3 la x = 7 y(7) = 10.

Graficul din Fig. 10.

Concluzie. La rezolvarea acestui grup de ecuații, este necesar să se ia în considerare zerourile modulelor conținute în fiecare dintre ecuații. Apoi construiți un grafic al funcției pe fiecare dintre intervalele rezultate.

(La construirea graficelor acestor funcții, fiecare grup a examinat influența modulului asupra aspectului graficului funcției și a făcut concluziile adecvate.)

Am primit un tabel rezumativ pentru graficele funcțiilor care conțin un modul.

Tabel pentru construirea graficelor de funcții care conțin un modul.

Grupa 4.

Reprezentați grafic funcția:

a) y = x 2 - 5x + |x - 3|;

b) y = |x 2 - 5x| + x - 3.

Soluţie.

a) y = x 2 - 5x + |x - 3|, trecem la multimea sistemelor:

Construim un grafic al funcției y = x 2 -6x + 3 la x 3,
apoi reprezentați grafic funcția y = x 2 - 4x - 3 pentru x > 3 în punctele y(4) = -3, y(5) = 2, y(6) = 9.

Graficul funcției din Figura 11.

b) y = |x 2 - 5x| + x - 3, trecem la setul de sisteme:

Construim fiecare grafic pe intervalul corespunzător.

Graficul funcției este în Figura 12.

Concluzie.

Am aflat influența modulului din fiecare termen asupra aspectului graficului.

Muncă independentă.

Reprezentați grafic funcția:

a) y = |x 2 - 5x + |x - 3||,

b) y= ||x 2 - 5x| + x - 3|.

Soluţie.

Graficele anterioare sunt afișate în raport cu axa Ox.

Grupa.5

Construiți un grafic al funcției: y =| x - 2| (|x| - 3) - 3.

Soluţie.

Să considerăm zerourile a două module: x = 0, x – 2 = 0. Obținem intervale de semn constant.

Avem un set de sisteme de ecuații:

Construim un grafic pentru fiecare dintre intervale.

Graficul este în Figura 15.

Concluzie. Cele două module din ecuațiile propuse au complicat semnificativ construcția graficului general, care constă din trei grafice separate.

Elevii au înregistrat performanțele fiecărui grup, au notat concluziile și au participat la lucrări independente.

3. Temă pentru acasă.

Construiți grafice ale funcțiilor cu diferite locații ale modulelor:

1. y = x 2 + 4x + 2;

2. y = - x 2 + 6x - 4.

4. Etapa reflecto-evaluative.

1.Notele pentru lecție sunt formate din următoarele note:

a) pentru lucrul în grup;

b) pentru muncă independentă.

2. Care a fost cel mai interesant moment din lecție?

3. Temele sunt dificile?

Funcția de construire

Oferim atentiei dumneavoastra un serviciu de realizare a graficelor de functii online, toate drepturile asupra carora apartin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Construcția graficelor specificate implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scalei, culoarea liniei
• Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
• Trasarea mai multor grafice de funcții simultan
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiți grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru a găsi puncte de intersecție a funcțiilor, pentru a reprezenta grafice pentru deplasarea lor ulterioară în document Word ca ilustrații la rezolvarea problemelor, pentru a analiza caracteristicile comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame pe această pagină de site este Google Chrome. Funcționarea corectă nu este garantată atunci când utilizați alte browsere.

Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Forma generală Parabola este prezentată în figura de mai jos.

Funcția pătratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum se poate vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă pe grafic paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe. Apoi va intersecta parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte până la axa Oy va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul unei parabole în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul unei parabole care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. La x =0, y=0 și y>0 la x0

2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.

3. Funcția scade pe interval (-∞;0] și crește pe interval)