เกมที่ผู้เข้าร่วมทำภารกิจการ์ตูน ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นพร้อมเฉลย
A.V.: Yulia คุณสำเร็จการศึกษาในสตูดิโอ “Movement Coordination” ของ Sergei Choban โดยที่วัตถุการออกแบบของคุณคือบล็อก D-1 ใน Skolkovo เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ งานของคุณน่าจะมีความเฉพาะเจาะจงมากที่สุด: คุณกำลังออกแบบสถานที่ซึ่งบริบทยังไม่ถูกสร้าง มันรู้สึกอย่างไร?
ยอ.: การทำงานโดยไม่มีบริบทที่มีอยู่นั้นค่อนข้างแปลกจริงๆ ในพื้นที่ Skolkovo ซึ่งเป็นแผนแม่บทที่พัฒนาโดยสำนักสุนทรพจน์ของ Sergei Choban ร่วมกับบริษัทของ David Chipperfield เราได้รับการจัดสรรที่ดินผืนหนึ่ง และเราต้องหาว่าเราจะทำอะไรกับที่ดินนั้นได้บ้าง ในภาคการศึกษาแรกเราแบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 4 คน และมีการประกาศการแข่งขันระหว่างเราเพื่อแก้ปัญหาการวางแผนเป็นเวลาหนึ่งในสี่ เราต้องวางบนที่ดินที่เรามี 12 หลัง โดยเฉลี่ยแล้วมีบ้าน 5 ชั้น ตามจำนวนนักเรียนในกลุ่ม มันเกิดขึ้นที่ทีมของเราชนะการแข่งขัน: Anya Shevchenko, Dima Stolbovoy, Artem Slizunov และฉัน เรามีแผนที่ค่อนข้างเข้มงวด ซึ่งไม่เพียงจำกัดด้วยพารามิเตอร์ทางที่ดินบางส่วนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อกำหนดทางเทคนิคและรหัสการออกแบบด้วย
แผนแม่บทของคุณคืออะไร?
เราเปลี่ยนโครงสร้างที่อยู่ในเวอร์ชันดั้งเดิมของแผนทั่วไป: เพื่อลดขนาดของสภาพแวดล้อม เราแบ่งบล็อกของเราออกเป็น 4 บล็อกย่อยโดยมีพื้นที่สาธารณะภายในแต่ละบล็อก นอกจากนี้ แต่ละแผนกยังมีหน้าที่ของตัวเอง: ที่อยู่อาศัย สตาร์ทอัพ แผนกย่อยที่มีหน้าที่ด้านกีฬาและอาคารหลัก และพื้นที่ที่มีหอพัก โรงแรม พิพิธภัณฑ์ และจัตุรัสหลัก
คุณเขียนข้อจำกัดอะไรบ้างในโค้ดการออกแบบ
ไตรมาสนี้มีขนาดเล็กมากและความตั้งใจของผู้เข้าร่วมแต่ละคนอาจมีอิทธิพลต่อผู้อื่นอย่างมาก ดังนั้นเราจึงไม่ได้กำหนดวัสดุที่เฉพาะเจาะจง แต่ควบคุมการเปลี่ยนแปลงรูปร่างที่เป็นไปได้โดยการตั้งค่า "รอยเท้า" และ FAR ตัวอย่างเช่น หากคุณ "แทะ" จำนวนชั้นของคุณจะเพิ่มขึ้น ซึ่งจะจำกัดอยู่ที่ระดับหนึ่งด้วย
ขั้นตอนต่อไปคืออะไร?
ต่อไป เราแต่ละคนจะต้องพัฒนาอาคารหลังหนึ่งบนไซต์งาน แต่อาคารหลังใดที่มีหน้าที่อะไรถูกกำหนดโดยล็อต เราจึงวาดเอกสารที่มี "จำนวนมาก" นี่คือแผนของ Sergei Tchoban และสถานการณ์นี้แตกต่างโดยพื้นฐานจากเมื่อคุณเลือกหัวข้อประกาศนียบัตรและออกแบบอาคารที่มีฟังก์ชั่นเฉพาะซึ่งคุณอาจใฝ่ฝันที่จะออกแบบสำหรับการศึกษาทั้งหกปี ที่นี่เราต้องตกลงใจกับสิ่งที่เราได้รับจากการจับสลาก และในด้านหนึ่ง มันค่อนข้างเจ็บปวด แต่ในทางกลับกัน มันเป็นสถานการณ์ที่เกือบจะในชีวิต
คุณได้อะไร?
ฉันโชคดีในความคิดของฉัน ฉันออกแบบอาคารสตาร์ทอัพ ด้วยมิติบางอย่างที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ หลักการที่สำคัญที่สุดที่ฉันดำเนินการคือทั้งอุดมการณ์และการใช้งาน: วันนี้เป็นการเริ่มต้น แต่พรุ่งนี้อาจเป็นไปได้ว่าจะไม่เป็นเช่นนั้นอีกต่อไป
ท้ายที่สุดแล้ว Skolkovo คืออะไร? ไม่มีใครสามารถตอบคำถามนี้ได้อย่างชาญฉลาด จากการศึกษาเนื้อหา ฉันสรุปได้ว่ากลยุทธ์การพัฒนาของ Skolkovo ค่อนข้างยืดหยุ่น สำหรับฉัน นี่กลายเป็นเงื่อนไขหลักที่โครงการของฉันต้องบรรลุ ดังนั้นด้วยความกว้างของอาคาร 12 เมตร จึงเป็นสิ่งสำคัญสำหรับฉันที่จะต้องไม่มีกำแพงที่ไม่จำเป็นในอาคารของฉัน ฉันไม่เหลืออะไรเลยนอกจากแกนที่ทำให้แข็งซึ่งจำเป็นจากมุมมองการออกแบบ ข้างในมีเลย์เอาท์แบบเปิดโล่ง สำหรับรูปลักษณ์ภายนอก ฉันพยายามออกแบบอาคารของฉันให้ค่อนข้างเรียบง่าย แต่ในขณะเดียวกันก็แสดงออกได้
ด้านหน้าอาคารหลักกลายเป็นปลาย 12 เมตรหันหน้าไปทางถนน ฉันจึงตัดสินใจลับรูปทรงของมันให้คมขึ้น หลังคาหน้าจั่วซึ่งกลายเป็นจุดเด่นของทั้งอาคารมีบทบาทสำคัญ มันเป็นตัวเชื่อมระหว่าง "เพื่อนบ้าน" สองตัวของวัตถุของฉัน ซึ่งมีความสูงและการแสดงออกต่างกัน
คุณได้สร้างทัศนคติของตนเองต่อแนวคิดของศูนย์ข้อมูล Skolkovo ในระหว่างการทำงานของคุณหรือไม่?
มันเปลี่ยนไประหว่างการทำงาน ในตอนแรกบริบททางอุดมการณ์ค่อนข้างล้นหลามเล็กน้อย จากนั้นเราก็เริ่มรับรู้ว่า Skolkovo ไม่ได้เป็นปรากฏการณ์ในระดับรัสเซียอีกต่อไป แต่ต้องพิจารณาปัญหาของสถานที่นั้นอย่างรอบคอบ ท้ายที่สุดแล้ว วันนี้ก็สามารถเป็นศูนย์นวัตกรรมได้ และพรุ่งนี้ก็สามารถเป็นอย่างอื่นได้ อาคารของคุณควรจะพังยับเยินหรือไม่? สถาปัตยกรรมที่ดีสามารถมีอายุยืนยาวกว่าบริบทดั้งเดิม เธอยังสร้างรูปแบบใหม่อีกด้วย
การทำงานเป็นกลุ่มเป็นเรื่องยากไหม? ความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นภายในสตูดิโอเป็นอย่างไรเมื่อคุณแต่ละคนเริ่มทำงานในโครงการของตัวเอง?
ใช่ แน่นอนมันยาก ท้ายที่สุดแล้ว เราประสบความสำเร็จในลักษณะที่ความปรารถนาของแต่ละคนสามารถเปลี่ยนแปลงสถานการณ์โดยรวมได้อย่างรุนแรง พื้นที่มีขนาดค่อนข้างเล็ก และความคิดของใครบางคนที่จะสร้าง เช่น คอนโซลหรืออย่างอื่น อาจส่งผลกระทบต่อมาตรฐานไข้แดด เป็นต้น จากนั้นเราทุกคนก็นั่งลงและเริ่มคุยกันว่ามันถูกหรือผิด
เวอร์ชันสุดท้ายทำให้ฉันประหลาดใจมาก สำหรับฉันในตอนแรก ดูเหมือนว่าความปรารถนาของทุกคนที่จะทำโครงงานวิทยานิพนธ์สุดว้าวนั้นมีค่ามากกว่าการทำงานกลุ่มที่มีความสามัคคี แต่สุดท้ายแล้ว แผนแม่บทก็ค่อนข้างสมดุล สำหรับฉันดูเหมือนว่าเราได้พยายามค้นหา "ค่าเฉลี่ยทอง" ระหว่างความทะเยอทะยานส่วนตัวและความจำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎเกณฑ์บางประการของเกม
การฝึกอบรมกับ Sergei Choban มีคุณสมบัติอะไรบ้าง?
หัวหน้าสตูดิโอของเราทุกคนยินดีที่ได้ร่วมงานด้วย นอกจาก Sergei แล้ว ยังมี Alexey Ilyin และ Igor Chlenov จากสำนักการพูด ผู้เชี่ยวชาญที่เกี่ยวข้องก็มาช่วยจัดเรียงองค์ประกอบบางอย่างด้วย กระบวนการศึกษาได้รับการจัดโครงสร้างอย่างแม่นยำอย่างน่ายินดี นาทีต่อนาที แม้ว่า Sergei อาจจะพบว่าเป็นเรื่องยากสำหรับเราในระดับหนึ่ง สำหรับฉันดูเหมือนว่าเขากำลังนับความจริงที่ว่าเราเกือบจะเป็นมืออาชีพแล้ว และฉันไม่สามารถพูดได้ว่าเรายังเด็กอยู่ แต่ความแตกต่างระหว่างพนักงานออฟฟิศกับนักเรียนยังคงยอดเยี่ยมมาก เขาแบ่งปันความรู้ของเขากับเราไม่ใช่ในฐานะครู แต่ในฐานะสถาปนิกฝึกหัด และช่วยให้เราทำงานได้อย่างอิสระและทำงานร่วมกันมากกว่ากับครู มันคือ “การประสานการเคลื่อนไหว” จริงๆ
การเรียนสองปีที่ MARCH ของคุณให้อะไรกับคุณโดยรวม?
ฉันไม่สามารถพูดได้ว่าตาที่สามเปิดแล้ว แต่ข้อสงสัยบางอย่างก็คลี่คลาย บางตำแหน่งก็แข็งแกร่งขึ้น ตอนนี้ฉันมีความรับผิดชอบมากขึ้นต่อสิ่งที่ฉันทำและสิ่งที่ฉันพูด บางทีอาจจะขอบคุณมากสำหรับ MARSH ครั้งนี้ บางทีอาจจะขอบคุณมากสำหรับครั้งนี้ พูดได้เลยว่าสิ่งที่มีค่าที่สุดที่ MARCH มีซึ่งเป็นทรัพยากรหลักของโรงเรียนก็คือผู้คนและบรรยากาศที่พิเศษบางอย่าง ส่วนใหญ่ฉันไปที่นั่นเพื่อผู้คน ฉันไปที่ Sergei Sitar ถึง Kiril Assu ถึง Evgeniy Viktorovich ถึง Narine Tyutcheva นอกจากนี้ฉันมีคุณเพื่อน ๆ ที่เป็นแรงบันดาลใจและสนับสนุนฉัน ฉันหวังว่าเราจะได้สื่อสารกันในอนาคต ฉันหวังว่าเราจะทำอะไรบางอย่างร่วมกัน
ก่อนหน้านี้คุณเรียนที่ไหน?
ฉันปกป้องปริญญาตรีของฉันที่สถาบันสถาปัตยกรรมมอสโกกับอาจารย์ที่ยอดเยี่ยมที่สุด Irina Mikhailovna Yastrebova และฉันขอเสริมได้ว่าฉันมีทัศนคติที่ดีต่อ MARCHI และไม่คิดว่าจะเป็นของที่ระลึกของโซเวียต เขาให้พื้นฐานทางวิชาการ จากนั้นทุกคนก็ตัดสินใจด้วยตัวเองว่าต้องการทำอะไร
คุณต้องการทำอะไรตอนนี้?
ตลอดหลายปีที่ผ่านมาในสายสถาปัตยกรรม ฉันได้เขียนเกี่ยวกับมัน อ่านมัน พูดคุยเกี่ยวกับมัน แต่ฉันไม่เคยสร้างมันขึ้นมาในความหมายที่สมบูรณ์ของคำนี้ โดยพื้นฐานแล้วฉันมีส่วนร่วมในสถาปัตยกรรมกระดาษ โดยที่คุณทราบ เป็นการเสแสร้งต่อศิลปะเชิงแนวคิด และถ้าก่อนหน้านี้ฉันมั่นใจอย่างยิ่งว่าทฤษฎีเป็นตัวกำหนดการปฏิบัติ ตอนนี้ฉันไม่สามารถเชื่อได้จนกว่าจะตรวจสอบ ดังนั้นตอนนี้ฉันต้องไปเยี่ยมชมสถานที่ก่อสร้างฉันต้องเข้าใจว่ามันเป็นอย่างไร - เมื่อคุณทำอะไรบางอย่างบนกระดาษแล้วต่อสู้เพื่อมันโต้เถียงตกลงและในที่สุดคุณก็ยืนดูและเข้าใจ: นี่ไง คือมันเกิดขึ้น! นี่คือแนวคิดการแก้ไขของฉัน ดังนั้นผมจึงวางแผนที่จะฝึกซ้อมในอีกสองปีข้างหน้า และจะพยายามทำให้เส้นทางสู่การก่อสร้างและการนำไปปฏิบัติให้สั้นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นพร้อมเฉลย
1. เชิงผสมผสาน
ปัญหาที่ 1 . มีนักเรียนในกลุ่มจำนวน 30 คน จำเป็นต้องเลือกผู้ใหญ่บ้าน รองผู้ใหญ่บ้าน และผู้จัดงานสหภาพแรงงาน มีกี่วิธีในการทำเช่นนี้?
สารละลาย.นักเรียนคนใดคนหนึ่งจาก 30 คนสามารถเลือกเป็นผู้ใหญ่บ้านได้ นักเรียนคนใดคนหนึ่งจากทั้งหมด 29 คนที่เหลือสามารถเลือกเป็นรองได้ และนักเรียนคนใดคนหนึ่งจาก 28 คนที่เหลือสามารถเลือกให้เป็นผู้จัดงานสหภาพแรงงานได้ เช่น n1=30, n2=29, n3=28. ตามกฎการคูณ จำนวน N วิธีในการเลือกผู้ใหญ่บ้าน รองหัวหน้า และผู้นำสหภาพแรงงานคือ N=n1´n2´n3=30´29´28=24360
ปัญหาที่ 2 . บุรุษไปรษณีย์สองคนจะต้องส่งจดหมาย 10 ฉบับไปยังที่อยู่ 10 แห่ง พวกเขาสามารถกระจายงานได้กี่วิธี?
สารละลาย.ตัวอักษรตัวแรกมีทางเลือก n1=2 - ไม่ว่าจะอ้างอิงถึงก็ตาม ถึงผู้รับบุรุษไปรษณีย์คนแรกหรือคนที่สอง สำหรับตัวอักษรตัวที่สอง ยังมีทางเลือกอื่นอีก n2=2 เป็นต้น เช่น n1=n2=…=n10=2 ดังนั้นตามกฎการคูณ จำนวนวิธีแจกจดหมายระหว่างบุรุษไปรษณีย์สองคนจึงเท่ากับ
ปัญหา 3. ในกล่องมีทั้งหมด 100 ชิ้น เป็นชิ้นส่วนเกรด 1 30 ชิ้น เกรด 2 50 ชิ้น ที่เหลือเป็นเกรด 3 มีกี่วิธีในการนำชิ้นส่วนเกรด 1 หรือเกรด 2 หนึ่งชิ้นออกจากกล่อง?
สารละลาย.ส่วนหนึ่งของเกรด 1 สามารถสกัดได้ n1=30 วิธี, ส่วนหนึ่งของเกรด 2 สามารถสกัดได้ n2=50 วิธี ตามกฎผลรวม มีวิธี N=n1+n2=30+50=80 วิธีในการแยกส่วนหนึ่งของชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 หรือชั้นประถมศึกษาปีที่ 2
ปัญหาที่ 5 . ลำดับผลงานของผู้เข้าร่วมการแข่งขันทั้ง 7 คนจะถูกกำหนดโดยการจับสลาก การจับสลากมีทางเลือกให้เลือกกี่แบบ?
สารละลาย.การจับรางวัลแต่ละแบบจะแตกต่างกันเฉพาะตามลำดับของผู้เข้าร่วมการแข่งขันเท่านั้น กล่าวคือ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ 7 องค์ประกอบ จำนวนของพวกเขาเท่ากัน
ปัญหาที่ 6 . มีภาพยนตร์เข้าประกวด 10 เรื่อง 5 เรื่องที่ได้รับการเสนอชื่อเข้าชิง มีทางเลือกมากมายในการแจกรางวัลหากมีการตั้งกฎต่อไปนี้สำหรับทุกหมวดหมู่? หลากหลายรางวัล?
สารละลาย.ตัวเลือกการแจกรางวัลแต่ละตัวเลือกคือการรวมภาพยนตร์ 5 เรื่องจากทั้งหมด 10 เรื่อง ซึ่งแตกต่างจากการรวมเรื่องอื่น ๆ ทั้งในองค์ประกอบและตามลำดับ เนื่องจากภาพยนตร์แต่ละเรื่องสามารถได้รับรางวัลประเภทเดียวหรือหลายหมวดหมู่ จึงสามารถฉายภาพยนตร์เรื่องเดียวกันซ้ำได้ ดังนั้นจำนวนของชุดค่าผสมดังกล่าวจึงเท่ากับจำนวนตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ 10 องค์ประกอบจาก 5:
ปัญหาที่ 7 . 16 คนเข้าร่วมการแข่งขันหมากรุก จะต้องเล่นเกมกี่เกมในทัวร์นาเมนต์หากต้องเล่นเกมหนึ่งเกมระหว่างผู้เข้าร่วมสองคน?
สารละลาย.แต่ละเกมเล่นโดยผู้เข้าร่วมสองคนจาก 16 คนและแตกต่างจากเกมอื่น ๆ เฉพาะในองค์ประกอบของคู่ของผู้เข้าร่วมเท่านั้น นั่นคือ เป็นการรวมกันของ 16 องค์ประกอบจาก 2 จำนวนของพวกเขาเท่ากับ 
ปัญหาที่ 8 . ในเงื่อนไขของภารกิจที่ 6 ให้กำหนดจำนวนตัวเลือกสำหรับการแจกรางวัลที่มีอยู่สำหรับการเสนอชื่อทั้งหมด เหมือนรางวัล?
สารละลาย.หากมีการกำหนดรางวัลเดียวกันสำหรับการเสนอชื่อแต่ละครั้ง ลำดับของภาพยนตร์ที่มี 5 รางวัลรวมกันนั้นไม่สำคัญ และจำนวนตัวเลือกคือจำนวนการรวมกันที่มีการซ้ำ 10 องค์ประกอบจาก 5 ซึ่งกำหนดโดยสูตร
ภารกิจที่ 9 ชาวสวนจะต้องปลูกต้นไม้ 6 ต้นภายในสามวัน หากเขาปลูกต้นไม้อย่างน้อยวันละหนึ่งต้น เขาจะแบ่งงานของตนในแต่ละวันได้กี่วิธี?
สารละลาย.สมมติว่าคนสวนกำลังปลูกต้นไม้เป็นแถวและสามารถตัดสินใจได้ต่างกันว่าจะหยุดต้นไม้ต้นไหนในวันแรกและต้นไหนจะหยุดในวันแรก ดังนั้น เราสามารถจินตนาการได้ว่าต้นไม้ถูกคั่นด้วยฉากกั้นสองส่วน ซึ่งแต่ละฉากสามารถยืนอยู่ในหนึ่งใน 5 ตำแหน่ง (ระหว่างต้นไม้) ฉากกั้นจะต้องมีทีละอัน เพราะไม่เช่นนั้นจะไม่มีการปลูกต้นไม้สักต้นในสักวันหนึ่ง ดังนั้นคุณต้องเลือก 2 องค์ประกอบจาก 5 องค์ประกอบ (ไม่มีการซ้ำซ้อน) ดังนั้นจำนวนวิธี
ปัญหาที่ 10. มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใด (อาจเริ่มต้นด้วยศูนย์) ซึ่งตัวเลขรวมกันได้ 5
สารละลาย.ลองจินตนาการว่าเลข 5 เป็นผลรวมของจำนวนที่อยู่ติดกัน โดยแบ่งออกเป็นกลุ่มตามพาร์ติชั่น (ผลรวมแต่ละกลุ่มจะสร้างหลักถัดไปของตัวเลข) เป็นที่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องมีพาร์ติชั่นดังกล่าว 3 อัน มีพาร์ติชั่น 6 ที่ (ก่อนทุกหน่วยระหว่างพวกเขาและหลัง) แต่ละพื้นที่สามารถถูกครอบครองโดยพาร์ติชั่นตั้งแต่หนึ่งพาร์ติชั่นขึ้นไป (ในกรณีหลังไม่มีพาร์ติชั่นอยู่ระหว่างพาร์ติชั่นและผลรวมที่สอดคล้องกันคือศูนย์) ลองพิจารณาสถานที่เหล่านี้เป็นองค์ประกอบของเซต ดังนั้นคุณต้องเลือก 3 องค์ประกอบจาก 6 องค์ประกอบ (ด้วยการทำซ้ำ) ดังนั้นจำนวนตัวเลขที่ต้องการ 
ปัญหาที่ 11 . นักเรียนจำนวน 25 คนสามารถแบ่งกลุ่มออกเป็นสามกลุ่มย่อย A, B และ C จำนวน 6, 9 และ 10 คน ตามลำดับได้กี่วิธี
สารละลาย.ที่นี่ n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" width="160" height="41">
ปัญหาที่ 1 . มีส้ม 5 ผลและแอปเปิ้ล 4 ผลในกล่อง สุ่มเลือกผลไม้ 3 ชนิด ความน่าจะเป็นที่ผลไม้ทั้งสามผลจะเป็นส้มเป็นเท่าใด
สารละลาย. ผลลัพธ์เบื้องต้นที่นี่คือชุดที่มีผลไม้ 3 ผล เนื่องจากลำดับของผลไม้นั้นไม่แยแส เราจะพิจารณาตัวเลือกของพวกเขาที่ไม่เรียงลำดับ (และไม่ซ้ำกัน)..gif" width="21" height="25 src="> จำนวนผลลัพธ์ที่ดีจะเท่ากับ หลายวิธีในการเลือกส้ม 3 ลูกจาก 5 ลูกที่มีอยู่ เช่น.. gif" width="161 height=83" height="83">
ปัญหาที่ 2 . ครูขอให้นักเรียนแต่ละคนคิดเลขใดๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 10 โดยสมมติว่านักเรียนแต่ละคนเลือกหมายเลขที่กำหนดได้เท่ากัน ให้หาความน่าจะเป็นที่หนึ่งในนั้นจะมีหมายเลขเท่ากัน
สารละลาย.ขั้นแรก มาคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดกัน นักเรียนคนแรกเลือกหนึ่งใน 10 หมายเลขและมีความเป็นไปได้ n1=10 รายการ นักเรียนคนที่สองมีความเป็นไปได้ n2=10 รายการ และสุดท้าย นักเรียนคนที่สามก็มีความเป็นไปได้ n3=10 เช่นกัน ตามกฎการคูณ จำนวนวิธีทั้งหมดจะเท่ากับ: n= n1´n2´n3=103 = 1,000 กล่าวคือ พื้นที่ทั้งหมดมีผลลัพธ์เบื้องต้น 1,000 วิธี ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จะสะดวกที่จะข้ามไปยังเหตุการณ์ตรงกันข้าม กล่าวคือ นับจำนวนกรณีที่นักเรียนทั้งสามคนคิดเลขต่างกัน อันแรกยังมี m1=10 วิธีในการเลือกตัวเลข นักเรียนคนที่สองตอนนี้มีความเป็นไปได้เพียง m2=9 เท่านั้น เนื่องจากเขาต้องระวังว่าจำนวนของเขาไม่ตรงกับจำนวนนักเรียนคนแรกที่ตั้งใจไว้ นักเรียนคนที่สามมีข้อจำกัดในการเลือกมากขึ้น - เขามีความเป็นไปได้เพียง m3=8 เท่านั้น ดังนั้น จำนวนผลรวมของจำนวนที่คิดได้แต่ไม่มีค่าที่ตรงกันคือ m=10×9×8=720 มีกรณีที่ตรงกันทั้งหมด 280 กรณี ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการจึงเท่ากับ P = 280/1000 = 0.28
ปัญหา 3 . ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลข 8 หลักมี 4 หลักเหมือนกันทุกประการและที่เหลือต่างกัน
สารละลาย. เหตุการณ์ A=(ตัวเลขแปดหลักประกอบด้วยตัวเลขที่เหมือนกัน 4 หลัก) จากเงื่อนไขของปัญหา พบว่าตัวเลขนั้นมีตัวเลขที่แตกต่างกันห้าหลัก โดยหนึ่งในนั้นจะถูกทำซ้ำ จำนวนวิธีเลือกจะเท่ากับจำนวนวิธีเลือกหนึ่งหลักจาก 10 หลัก..gif" width="21" height="25 src="> แล้วตามด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่ดี จำนวนรวมของ วิธีเขียนตัวเลข 8 หลัก คือ |W|=108 ความน่าจะเป็นที่ต้องการเท่ากับ
ปัญหาที่ 4 . ลูกค้าหกรายสุ่มติดต่อ 5 บริษัท ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะไม่มีใครติดต่อกับบริษัทใดบริษัทหนึ่งเป็นอย่างน้อย
สารละลาย.พิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้ามhttps://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif" width="195" height="41"> จำนวนวิธีทั้งหมดในการแจกจ่ายลูกค้า 6 รายใน 5 บริษัท ดังนั้น 
. เพราะฉะนั้น, .
ปัญหาที่ 5 . ให้มีลูกบอล N ลูกในโกศ โดย M เป็นสีขาว และ N–M เป็นสีดำ มีลูกบอล n ลูกถูกดึงออกมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีลูกบอลสีขาวอยู่จำนวน m พอดี
สารละลาย.เนื่องจากลำดับขององค์ประกอบไม่สำคัญในที่นี้ จำนวนชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปริมาตร n ขององค์ประกอบ N จะเท่ากับจำนวนชุดของลูกบอลสีขาว m ลูกบอลสีดำ n–m ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการจึงเท่ากับ P(A) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image031_2.gif" width="167" height="44">.
ปัญหาที่ 7 (ปัญหาการประชุม) . คนสองคน A และ B ตกลงที่จะพบกัน ณ สถานที่แห่งหนึ่งระหว่างเวลา 12.00 ถึง 13.00 น. คนแรกที่มาถึงจะรออีกฝ่ายเป็นเวลา 20 นาทีแล้วจึงออกไป ความน่าจะเป็นของการพบกันระหว่างบุคคล A และ B เป็นเท่าใด หากการมาถึงของแต่ละคนสามารถเกิดขึ้นได้โดยสุ่มภายในชั่วโมงที่กำหนดและช่วงเวลาที่มาถึงนั้นเป็นอิสระจากกัน
สารละลาย.ให้เราแสดงช่วงเวลาที่มาถึงของบุคคล A โดย x และบุคคล B โดย y เพื่อให้การประชุมเกิดขึ้น มีความจำเป็นและเพียงพอที่ x-yô £20 ลองวาดภาพ x และ y เป็นพิกัดบนระนาบ โดยเลือกนาทีเป็นหน่วยมาตราส่วน ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะแสดงด้วยคะแนนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 60 และผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อการประชุมจะอยู่ในพื้นที่สีเทา ความน่าจะเป็นที่ต้องการคืออัตราส่วนของพื้นที่ของรูปที่แรเงา (รูปที่ 2.1) ต่อพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด: P(A) = (602–402)/602 = 5/9
3. สูตรพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น
ปัญหาที่ 1 . ในกล่องมีปุ่มสีแดง 10 ปุ่มและปุ่มสีน้ำเงิน 5 ปุ่ม ปุ่มสองปุ่มจะถูกดึงออกมาแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ปุ่มจะเป็นสีเดียวกันคือเท่าไร? ?
สารละลาย. เหตุการณ์ A=(ปุ่มที่มีสีเดียวกันถูกนำออกไป) สามารถแสดงเป็นผลรวม โดยที่เหตุการณ์และหมายถึงการเลือกปุ่มสีแดงและสีน้ำเงินตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่จะดึงปุ่มสีแดงสองปุ่มออกมามีค่าเท่ากัน และความน่าจะเป็นที่จะดึงปุ่มสีน้ำเงินสองปุ่มออกมา https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" width="19 height=23" height= "23">.gif" width="249" height="83">
ปัญหาที่ 2 . ในบรรดาพนักงานของบริษัท 28% รู้ ภาษาอังกฤษ, 30% – เยอรมัน, 42% – ฝรั่งเศส; อังกฤษและเยอรมัน – 8% อังกฤษและฝรั่งเศส – 10% เยอรมันและฝรั่งเศส – 5% ทั้งสามภาษา – 3% ค้นหาความน่าจะเป็นที่พนักงานของบริษัทสุ่มเลือก: ก) รู้ภาษาอังกฤษหรือภาษาเยอรมัน; b) รู้ภาษาอังกฤษ เยอรมัน หรือฝรั่งเศส c) ไม่ทราบภาษาใด ๆ ที่ระบุไว้
สารละลาย.ให้เราแสดงด้วย A, B และ C ถึงเหตุการณ์ที่พนักงานของบริษัทที่ได้รับการสุ่มเลือกพูดภาษาอังกฤษ ภาษาเยอรมัน หรือภาษาฝรั่งเศส ตามลำดับ แน่นอนว่าสัดส่วนของพนักงานบริษัทที่พูดภาษาใดภาษาหนึ่งเป็นตัวกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ เราได้รับ:
ก) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.28+0.3-0.08=0.5;
b) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0.28+0, 3+ 0.42-
-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
c) 1-P(AÈBÈC)=0.2.
ปัญหา 3 . ครอบครัวมีลูกสองคน ความน่าจะเป็นที่ลูกคนโตจะเป็นเด็กผู้ชายเป็นเท่าใด หากรู้ว่าครอบครัวมีลูกทั้งสองเพศ?
สารละลาย.ให้ A=(ลูกคนโตเป็นเด็กผู้ชาย), B=(ครอบครัวมีลูกทั้งสองเพศ) สมมติว่าการเกิดของเด็กชายและเด็กหญิงเป็นเหตุการณ์ที่น่าจะเป็นไปได้เท่าเทียมกัน หากการเกิดของเด็กชายเขียนด้วยตัวอักษร M และการกำเนิดของเด็กผู้หญิงด้วย D พื้นที่ของผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมดจะประกอบด้วยสี่คู่: . ในพื้นที่นี้ มีเพียงสองผลลัพธ์เท่านั้น (MD และ DM) ที่สอดคล้องกับเหตุการณ์ B เหตุการณ์ AB หมายความว่าครอบครัวมีลูกทั้งสองเพศ ลูกคนโตเป็นเด็กผู้ชาย ดังนั้นลูกคนที่สอง (คนเล็กสุด) จึงเป็นเด็กผู้หญิง เหตุการณ์ AB นี้สอดคล้องกับผลลัพธ์เดียว – MD ดังนั้น |AB|=1, |B|=2 และ
ปัญหาที่ 4 . นายที่มี 10 ส่วน โดย 3 ส่วนไม่ได้มาตรฐาน จะตรวจสอบทีละส่วนจนกว่าจะเจอส่วนที่มาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่เขาจะตรวจสอบรายละเอียดสองอย่างอย่างแน่นอนคืออะไร?
สารละลาย.เหตุการณ์ A=(ต้นแบบตรวจสอบสองส่วนพอดี) หมายความว่าในระหว่างการตรวจสอบดังกล่าว ส่วนแรกกลายเป็นว่าไม่ได้มาตรฐาน และส่วนที่สองเป็นมาตรฐาน ซึ่งหมายความว่า โดยที่ =(ส่วนแรกกลายเป็นไม่ได้มาตรฐาน) และ =(ส่วนที่สองเป็นแบบมาตรฐาน) แน่นอนว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A1 ก็เท่ากับเช่นกัน 
เนื่องจากก่อนที่จะเริ่มส่วนที่สอง ปรมาจารย์เหลือ 9 ส่วน ซึ่งมีเพียง 2 ส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานและ 7 ส่วนเป็นมาตรฐาน โดยทฤษฎีบทการคูณ
ปัญหาที่ 5 . กล่องหนึ่งประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 5 ลูก อีกกล่องประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวจะถูกดึงมาจากกล่องอย่างน้อยหนึ่งกล่อง ถ้าดึงลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละกล่อง
สารละลาย. เหตุการณ์ A=(ลูกบอลสีขาวถูกนำออกจากกล่องอย่างน้อยหนึ่งกล่อง) สามารถแสดงเป็นผลรวม โดยที่เหตุการณ์หมายถึงลักษณะของลูกบอลสีขาวจากกล่องแรกและกล่องที่สอง ตามลำดับ..gif" width="91 " height="23">..gif " width="20" height="23 src=">.gif" width="480" height="23">.
ปัญหาที่ 6 . ผู้คุมสอบ 3 คนจะสอบวิชาใดวิชาหนึ่งจากกลุ่มจำนวน 30 คน โดยคนแรกจะสอบนักเรียน 6 คน คนที่สอง - 3 คน และคนที่สาม - 21 คน (นักเรียนจะถูกสุ่มเลือกจากรายชื่อ) ทัศนคติของผู้สอบทั้งสามที่มีต่อผู้ที่เตรียมตัวมาไม่ดีนั้นแตกต่างกัน: โอกาสที่นักเรียนดังกล่าวจะสอบผ่านกับครูคนแรกคือ 40% โดยคนที่สอง - เพียง 10% และคนที่สาม - 70% ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนที่เตรียมตัวไม่ดีจะสอบผ่าน .
สารละลาย.ให้เราแสดงด้วยสมมติฐานที่ว่านักเรียนที่เตรียมตัวมาไม่ดีจะตอบผู้ตรวจสอบที่หนึ่ง สอง และสาม ตามลำดับ ตามเงื่อนไขของปัญหา
, 
, 
.
ให้เหตุการณ์ A=(นักเรียนที่เตรียมตัวไม่ดีสอบผ่าน) แล้วอีกครั้งเนื่องจากเงื่อนไขของปัญหา
, 
, 
.
จากการใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดที่เราได้รับ:
ปัญหาที่ 7 . บริษัทมีแหล่งจัดหาส่วนประกอบสามแหล่ง ได้แก่ บริษัท A, B, C โดยบริษัท A คิดเป็น 50% ของอุปทานทั้งหมด, B - 30% และ C - 20% จากการปฏิบัติเป็นที่ทราบกันดีว่าในบรรดาชิ้นส่วนที่จัดหาโดยบริษัท A มีข้อบกพร่อง 10% โดยบริษัท B - 5% และโดยบริษัท C - 6% ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ถ่ายโดยการสุ่มจะเหมาะสมคือเท่าใด?
สารละลาย.ให้เหตุการณ์ G เป็นลักษณะของส่วนที่เหมาะสม ความน่าจะเป็นของสมมติฐานที่ว่าชิ้นส่วนจัดหาโดยบริษัท A, B, C เท่ากับ P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2 ตามลำดับ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการปรากฏของส่วนที่เหมาะสมจะเท่ากับ P(G|A)=0.9, P(G|B)=0.95, P(G|C)=0.94 (โดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามกับการปรากฏของ ชิ้นส่วนที่ชำรุด) จากการใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดที่เราได้รับ:
P(G)=0.5×0.9+0.3×0.95+0.2×0.94=0.923
ปัญหาที่ 8 (ดูภารกิจที่ 6) ให้รู้ว่านักเรียนสอบไม่ผ่านคือได้เกรด "ไม่น่าพอใจ" ครูคนไหนในสามคนที่เขามีแนวโน้มที่จะตอบมากที่สุด ?
สารละลาย.ความน่าจะเป็นที่จะ "ล้มเหลว" เท่ากับ คุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข จากการใช้สูตรของ Bayes เราจะได้:
https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" width="183" height="44 src=">, 
.
เป็นไปตามนั้น เป็นไปได้มากว่านักเรียนที่เตรียมตัวไม่ดีจะต้องสอบให้ผู้คุมสอบคนที่สาม
4. การทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีก ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี
ปัญหาที่ 1 . ลูกเต๋าถูกโยน 6 ครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่เลข 6 จะถูกทอย 3 ครั้งพอดี
สารละลาย.การทอยลูกเต๋าหกครั้งถือเป็นลำดับของการทดลองอิสระโดยมีความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ ("หกครั้ง") ที่ 1/6 และความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวที่ 5/6 เราคำนวณความน่าจะเป็นที่ต้องการโดยใช้สูตร 
.
ปัญหาที่ 2 . โยนเหรียญ 6 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฏไม่เกิน 2 ครั้ง
สารละลาย.ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของสามเหตุการณ์ ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเสื้อคลุมแขนจะไม่ปรากฏแม้แต่ครั้งเดียว ครั้งเดียว หรือสองครั้ง:
P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" width="445 height=24" height= "24">.
ปัญหาที่ 4 . โยนเหรียญ 3 ครั้ง ค้นหาจำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุด (แขนเสื้อ)
สารละลาย.ค่าที่เป็นไปได้สำหรับจำนวนความสำเร็จในการทดลองทั้งสามที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือ m = 0, 1, 2 หรือ 3 ให้ Am เป็นเหตุการณ์ที่แขนเสื้อปรากฏ m ครั้งในการโยนเหรียญสามครั้ง การใช้สูตรของเบอร์นูลลีทำให้ง่ายต่อการค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Am (ดูตาราง):
จากตารางนี้จะเห็นได้ว่าค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดคือตัวเลข 1 และ 2 (ความน่าจะเป็นคือ 3/8) ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถหาได้จากทฤษฎีบท 2 โดยแท้จริงแล้ว n=3, p=1/2, q=1/2 แล้ว
, เช่น. .
ภารกิจที่ 5 ซึ่งผลจากการมาเยือนแต่ละครั้ง ตัวแทนประกันสรุปสัญญาด้วยความน่าจะเป็น 0.1 ค้นหาจำนวนสัญญาสรุปที่เป็นไปได้มากที่สุดหลังจากการเข้าชม 25 ครั้ง
สารละลาย.เรามี n=10, p=0.1, q=0.9 อสมการสำหรับจำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดจะอยู่ในรูปแบบ: 25×0.1–0.9£m*£25×0.1+0.1 หรือ 1.6£m*£2.6 อสมการนี้มีวิธีแก้จำนวนเต็มเพียงวิธีเดียวเท่านั้น คือ m*=2
ปัญหาที่ 6 . เป็นที่ทราบกันว่าอัตราข้อบกพร่องสำหรับชิ้นส่วนบางส่วนคือ 0.5% เจ้าหน้าที่ตรวจสอบชิ้นส่วน 1,000 ชิ้น ความน่าจะเป็นที่จะพบชิ้นส่วนที่ชำรุดสามชิ้นคือเท่าไร? ความน่าจะเป็นที่จะพบชิ้นส่วนที่ชำรุดอย่างน้อยสามชิ้นเป็นเท่าใด
สารละลาย.เรามีการทดสอบเบอร์นูลลี 1,000 ครั้ง โดยมีความน่าจะเป็น “ความสำเร็จ” p=0.005 เราใช้การประมาณปัวซองด้วย แลมบ์ดา = np = 5 เราได้รับ
2) P1,000(ม.3)=1-P1,000(ม<3)=1-»1-,
และ P1000(3)"0.14; Р1,000(m³3)»0.875.
ปัญหาที่ 7 . ความน่าจะเป็นในการซื้อเมื่อลูกค้าเยี่ยมชมร้านค้าคือ p=0.75 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกค้าจะซื้อสินค้า 80 ครั้งในการเข้าชม 100 ครั้ง
สารละลาย. ในกรณีนี้ n=100, m=80, p=0.75, q=0.25 เราพบ 
และกำหนด j(x)=0.2036 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ Р100(80)= 
.
ภารกิจที่ 8 บริษัทประกันภัยสรุปสัญญาได้ 40,000 สัญญา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยสำหรับแต่ละรายการในระหว่างปีคือ 2% จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีกรณีดังกล่าวไม่เกิน 870 กรณี
สารละลาย.ตามเงื่อนไขงาน n=40000, p=0.02 เราพบว่า np=800,. ในการคำนวณ P(m £ 870) เราใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Moivre-Laplace:
ป(0
เราค้นหาจากตารางค่าของฟังก์ชัน Laplace:
ป(0 ปัญหาที่ 9
.
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระแต่ละครั้งจาก 400 การทดลองคือ 0.8 ค้นหาจำนวนบวก e โดยความน่าจะเป็น 0.99 ค่าสัมบูรณ์ของการเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์จากความน่าจะเป็นจะไม่เกิน e สารละลาย.ตามเงื่อนไขของปัญหา p=0.8, n=400 เราใช้ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Moivre-Laplace: 5.
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ปัญหาที่ 1
.
ในชุดประกอบด้วยกุญแจ 3 ดอก มีเพียงดอกเดียวเท่านั้นที่เหมาะกับประตู ค้นหาคีย์ต่างๆ จนกว่าจะพบคีย์ที่เหมาะสม สร้างกฎการแจกแจงสำหรับตัวแปรสุ่ม x – จำนวนคีย์ที่ทดสอบ .
สารละลาย.จำนวนคีย์ที่ลองอาจเป็น 1, 2 หรือ 3 หากลองคีย์เพียงคีย์เดียว หมายความว่าคีย์แรกตรงกับประตูทันที และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวคือ 1/3 ดังนั้น ถัดไป หากมี 2 คีย์ที่ทดสอบ เช่น x=2 นั่นหมายความว่าคีย์แรกใช้งานไม่ได้ แต่คีย์ที่สองทำงานได้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ 2/3×1/2=1/3..gif" width="100" height="21"> ผลลัพธ์คืออนุกรมการแจกแจงต่อไปนี้: ปัญหาที่ 2
.
สร้างฟังก์ชันการกระจาย Fx(x) สำหรับตัวแปรสุ่ม x จากปัญหาที่ 1 สารละลาย.ตัวแปรสุ่ม x มีสามค่า 1, 2, 3 ซึ่งแบ่งแกนตัวเลขทั้งหมดออกเป็นสี่ช่วง: ถ้า x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0. ถ้า 1 £x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3. ถ้า 2 £x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x และสุดท้าย ในกรณีของ x³3 ความไม่เท่าเทียมกัน x£x จะคงไว้สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม x ดังนั้น P(x ดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันต่อไปนี้: ปัญหา 3.
กฎการกระจายร่วมของตัวแปรสุ่ม x และ h แสดงไว้โดยใช้ตาราง คำนวณกฎเฉพาะของการกระจายของปริมาณส่วนประกอบ x และ h ตรวจสอบว่าพวกมันขึ้นอยู่กับ..gif" width="423" height="23 src=">; https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" width="376" height="23 src=">. การแจกแจงบางส่วนของ h นั้นได้มาในทำนองเดียวกัน: https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" width="229" height="23 src=">. ความน่าจะเป็นที่ได้รับสามารถเขียนลงในตารางเดียวกันตรงข้ามกับค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรสุ่ม: ทีนี้มาตอบคำถามเกี่ยวกับความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่ม x และ h..gif" width="108" height="25 src="> ในเซลล์นี้ ตัวอย่างเช่น ในเซลล์สำหรับค่า x=-1 และ h=1 มีความน่าจะเป็น 1/ 16 และผลคูณของความน่าจะเป็นบางส่วนที่สอดคล้องกัน 1/4×1/4 เท่ากับ 1/16 กล่าวคือ เกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นร่วม เงื่อนไขนี้ตรวจสอบใน เหลืออีกห้าเซลล์และปรากฎว่าเป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น ตัวแปรสุ่ม x และ h จึงเป็นอิสระจากกัน โปรดทราบว่าหากเงื่อนไขของเราถูกละเมิดในอย่างน้อยหนึ่งเซลล์ ปริมาณนั้นควรได้รับการยอมรับว่าขึ้นอยู่กับ เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น มาทำเครื่องหมายเซลล์ที่มีเงื่อนไขhttps://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" width="574" height="23 src="> ปัญหาที่ 4
.
ให้ตัวแปรสุ่ม ξ มีกฎการแจกแจงดังต่อไปนี้: คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ Mx การกระจายตัว Dx และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s สารละลาย. ตามคำนิยาม ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ x เท่ากับ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" width="51" height="21"> สารละลาย.ลองใช้สูตรกัน ปัญหาที่ 6
.
สำหรับตัวแปรสุ่มคู่หนึ่งจากปัญหาที่ 3 ให้คำนวณความแปรปรวนร่วม cov(x, h) สารละลาย.ในปัญหาที่แล้ว มีการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แล้ว .
มันยังคงคำนวณ และ .
เราได้รับโดยใช้กฎการกระจายบางส่วนที่ได้รับในการแก้ปัญหา 3 ; ;
และนั่นหมายความว่า ซึ่งเป็นไปตามที่คาดไว้เนื่องจากความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่ม ภารกิจที่ 7
เวกเตอร์สุ่ม (x, h) รับค่า (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) และ (0,–1) มีโอกาสเท่ากัน คำนวณความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม x และ h แสดงว่าเป็นที่พึ่ง.. สารละลาย. เนื่องจาก P(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5 จากนั้น Мx=3/5´0+1/5´1+1 /5'(–1)=0 และ มก=0; М(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0. เราได้รับ cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0 และตัวแปรสุ่มไม่มีความสัมพันธ์กัน อย่างไรก็ตาม พวกเขาต้องพึ่งพาอาศัยกัน กำหนดให้ x=1 แล้วความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ (h=0) เท่ากับ P(h=0|x=1)=1 และไม่เท่ากับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข P(h=0)=3/5 หรือความน่าจะเป็น (ξ=0,η =0) ไม่เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/ 25. ดังนั้น x และ h จึงขึ้นอยู่กับ ปัญหาที่ 8
. การเพิ่มขึ้นแบบสุ่มในราคาหุ้นของสองบริษัทสำหรับวันที่ x และ h มีการกระจายร่วมตามตาราง: ค้นหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ สารละลาย.ก่อนอื่น เราคำนวณ Mxh=0.3-0.2-0.1+0.4=0.4 ต่อไป เราจะพบกฎเฉพาะของการแจกแจงของ x และ h: เรากำหนด Mx=0.5-0.5=0; เมห์=0.6-0.4=0.2; Dx=1; ดิเอช=1–0.22=0.96; โคฟ(x, ชม.)=0.4. เราได้รับ ภารกิจที่ 9
การเพิ่มขึ้นแบบสุ่มของราคาหุ้นของสองบริษัทต่อวันมีความแปรปรวน Dx=1 และ Dh=2 และค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ r=0.7 ค้นหาความแปรปรวนของราคาที่เพิ่มขึ้นของพอร์ตหุ้น 5 หุ้นของบริษัทแรกและ 3 หุ้นของบริษัทที่สอง สารละลาย. เมื่อใช้คุณสมบัติของการกระจายตัว ความแปรปรวนร่วม และคำจำกัดความของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ เราได้รับ: ปัญหาที่ 10
.
การแจกแจงของตัวแปรสุ่มสองมิติได้รับจากตาราง: ค้นหาการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขและการคาดหวังแบบมีเงื่อนไข h ที่ x=1 สารละลาย.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไขคือ จากเงื่อนไขของปัญหา เราพบการกระจายของส่วนประกอบ h และ x (คอลัมน์สุดท้ายและแถวสุดท้ายของตาราง)
. เพราะฉะนั้น, 
..gif" width="587" height="41">
. กล่าวคือในแต่ละเซลล์ของตารางเราจะคูณค่าที่สอดคล้องกันและ คูณผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็น pij และรวมมันทั้งหมดเข้ากับเซลล์ทั้งหมดของตาราง เป็นผลให้เราได้รับ:
.
