คุณสมบัติของทรงสิบสองหน้าและข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ การนำเสนอรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในหัวข้อรูปแปดด้าน

สไลด์ 1

สไลด์ 2

SYMMETRY IN SPACE “สมมาตรคือความคิดที่มนุษย์พยายามทำความเข้าใจและสร้างระเบียบ ความงาม และความสมบูรณ์แบบ” (G. Weil) สมมาตร (“สัดส่วน”) คือการติดต่อกัน ความไม่เปลี่ยนรูป (ค่าคงที่) ซึ่งแสดงออกระหว่างการเปลี่ยนแปลงใดๆ ตัวอย่างเช่น ความสมมาตรทรงกลมของร่างกายหมายความว่ารูปลักษณ์ของร่างกายจะไม่เปลี่ยนแปลงหากมันถูกหมุนในอวกาศในมุมที่กำหนดโดยพลการ โดยรักษาจุดหนึ่งไว้กับที่ "วิทรูเวียนแมน" โดยเลนาร์โด ดาวินชี (ค.ศ. 1490, เวนิส)

สไลด์ 3

ความสมมาตรในอวกาศ จุด A และ A1 เรียกว่าสมมาตรสัมพันธ์กับจุด O (ศูนย์กลางของสมมาตร) ถ้า O อยู่ตรงกลางของส่วน AA1 จุด O ถือว่าสมมาตรกับตัวมันเอง เอ1

สไลด์ 4

ความสมมาตรในอวกาศ จุด A และ A1 เรียกว่าสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้นตรง (แกนสมมาตร) หากเส้นตรงผ่านจุดกึ่งกลางของส่วน AA1 และตั้งฉากกับส่วนนี้ แต่ละจุดของเส้น a ถือว่าสมมาตรกับตัวมันเอง A1

สไลด์ 5

ความสมมาตรในอวกาศ จุด A และ A1 เรียกว่าสมมาตรสัมพันธ์กับระนาบ (ระนาบสมมาตร) หากระนาบนี้ผ่านตรงกลางของส่วน AA1 และตั้งฉากกับส่วนนี้ แต่ละจุดของระนาบถือว่าสมมาตรกับตัวมันเอง

สไลด์ 6

ความสมมาตรในอวกาศ จุด (เส้นตรง ระนาบ) เรียกว่าจุดศูนย์กลาง (แกน ระนาบ) ของความสมมาตรของรูป ถ้าแต่ละจุดของรูปมีความสมมาตรสัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่งของรูปเดียวกัน ถ้ารูปมีจุดศูนย์กลาง (แกน, ระนาบ) ที่เป็นสมมาตร ก็ว่ากันว่ามีความสมมาตรที่ศูนย์กลาง (แกน, กระจก)

สไลด์ 7

ตัวอย่างความสมมาตรของรูปแผ่น สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเพียงสมมาตรตรงกลางเท่านั้น จุดศูนย์กลางสมมาตรคือจุดตัดของเส้นทแยงมุม สี่เหลี่ยมคางหมูด้านเท่ากันหมดมีสมมาตรตามแนวแกนเท่านั้น แกนสมมาตรของมันคือเส้นตั้งฉากที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีทั้งสมมาตรที่ส่วนกลางและตามแนวแกน แกนสมมาตรของมันคือเส้นทแยงมุมใดๆ ศูนย์กลางของสมมาตร - จุดตัดกัน

สไลด์ 8

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ - ของแข็งพลาโทเนียน 5 อัน ผู้อยู่อาศัยในกาแลคซีที่อยู่ห่างไกลที่สุดไม่สามารถเล่นลูกเต๋าได้ ซึ่งมีรูปทรงของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติที่เราไม่รู้จัก M. Gardner รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่าปกติถ้าหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากันและมีขอบจำนวนเท่ากันมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด นอกจากนี้ ขอบทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมปกติจะเท่ากัน เช่นเดียวกับมุมไดฮีดรัลที่มีด้านสองด้านซึ่งมีขอบร่วมกัน ไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีใบหน้าเป็น n-gons สำหรับ n > หรือ = 6!

สไลด์ 9

เตตราเฮดเดอร์ปกติ ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป จุดยอดแต่ละจุดคือจุดยอดของสามเหลี่ยมสามรูป ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180° พอดี องค์ประกอบของสมมาตร: จัตุรมุขไม่มีจุดศูนย์กลางของสมมาตร แต่มีสมมาตร 3 แกนและระนาบสมมาตร 6 ระนาบ S ความสูงของปริมาตรเต็มของจุดยอด – 4 ใบหน้า – 6 ขอบ – 4

สไลด์ 10

CUBE ประกอบด้วยหกสี่เหลี่ยม จุดยอดแต่ละจุดของลูกบาศก์คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 ช่อง ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 270° พอดี 6 หน้า, 8 จุดยอด และ 12 ขอบ องค์ประกอบของสมมาตร: ลูกบาศก์มีศูนย์กลางของสมมาตร - ศูนย์กลางของลูกบาศก์, 9 แกน และระนาบของคำอธิบาย R สมมาตร สิ่งแวดล้อม เต็มที่เลย โอเค

สไลด์ 11

รูปแปดด้านปกติ ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดรูป จุดยอดแต่ละจุดของรูปแปดด้านคือจุดยอดของสามเหลี่ยมสี่รูป ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 240° องค์ประกอบของความสมมาตร: ทรงแปดหน้ามีศูนย์กลางของสมมาตร - ศูนย์กลางของทรงแปดหน้า, สมมาตร 9 แกน และระนาบสมมาตร 9 ระนาบ 8 หันหน้าไปทาง 6 จุดยอด 12 ขอบ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและกึ่งปกติ

ในกิจกรรมของเขา ผู้คนทั่วโลกต้องเผชิญกับความจำเป็นในการศึกษารูปร่าง ขนาด และตำแหน่งสัมพัทธ์ของตัวเลขเชิงพื้นที่ คลาสของร่างกายที่สำคัญนั้นถูกสร้างขึ้นโดยรูปทรงหลายเหลี่ยม - ลำตัวที่มีขอบเขตประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม ในมหาสมุทรอันกว้างใหญ่ที่มีรูปร่างหลายแง่มุม รูปทรงโพลีเฮดราธรรมดา 5 ชิ้นหรือของแข็งแบบพลาโตนิก โดดเด่นในเรื่องความสมบูรณ์แบบ

รูปทรงหลายเหลี่ยม - ตัวเรขาคณิตล้อมรอบทุกด้านด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนที่เรียกว่าใบหน้า

ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่าขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม และปลายของขอบเรียกว่าจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ขึ้นอยู่กับจำนวนใบหน้า จัตุรมุข เพนตาฮีดรอน ฯลฯ มีความโดดเด่น

รูปทรงหลายเหลี่ยมจะเรียกว่านูนหากตั้งอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของระนาบของใบหน้าแต่ละด้าน รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่าปกติ ถ้าใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมเหมือนกันและมุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่จุดยอดเท่ากัน

จัตุรมุข (จากภาษากรีกเตตร้า - สี่และเฮดรา – ใบหน้า) คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 4 รูป

ผลึกฟอสฟอรัสสีขาวเกิดจากโมเลกุล P4 โมเลกุลดังกล่าวมีรูปร่างเป็นจัตุรมุข โมเลกุลของไอโซเมอร์กระจกของกรดแลคติคก็เป็นจัตุรมุขเช่นกัน ตาข่ายคริสตัลของมีเธนมีรูปร่างของจัตุรมุข มีเทนเผาไหม้ด้วยเปลวไฟที่ไม่มีสี ก่อให้เกิดสารผสมที่ระเบิดได้กับอากาศ. ใช้เป็นเชื้อเพลิง

สฟาเลอไรต์ - ซิงค์ซัลไฟด์ (ZnS)ผลึกของแร่นี้มีรูปร่างของจัตุรมุขซึ่งไม่บ่อยนัก - ขนมเปียกปูนรูปทรงสิบสองหน้า

ลูกบาศก์ (หกเหลี่ยม)

จุดยอดทั้ง 8 จุดของลูกบาศก์แต่ละจุดคือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 ช่อง

ลูกบาศก์มีขอบ 12 ด้านที่มีความยาวเท่ากัน

ศูนย์กลางของความสมมาตรของลูกบาศก์คือจุดตัดของเส้นทแยงมุม แกนสมมาตรมี 9 แกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางสมมาตร แกนสมมาตรของลูกบาศก์สามารถผ่านจุดกึ่งกลางของขอบขนานที่ไม่ได้อยู่ในด้านเดียวกัน หรือผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของด้านตรงข้าม

คิวบ์ สื่อถึงรูปร่างของผลึกโซเดียมคลอไรด์ NaCl

ตะแกรงคริสตัลของโลหะหลายชนิดมีรูปร่างเป็นลูกบาศก์ ( Li, Na, Cr, Pb, Al, Au และอื่นๆ)

แปดหน้า (จากภาษากรีก okto - แปด และ hedra - หน้า) - รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 รูป

โพแทสเซียมอะลูมิเนียมควอตซ์ผลึกเดี่ยวมีรูปร่างแปดด้านซึ่งมีสูตรดังนี้ K (อัล (SO 4)2) * 12 H 2 O - ใช้สำหรับแกะสลักผ้าและตกแต่งหนัง

สถานะหนึ่งของโมเลกุลคาร์บอนโพลีเมอร์พร้อมกับกราไฟต์คือเพชร โดยปกติแล้วเพชรจะมีรูปทรงแปดหน้าเป็นรูปทรงที่เจียระไน

เพชร (จากภาษากรีกอดามาส - ทำลายไม่ได้) เป็นคริสตัลไม่มีสีหรือมีสีที่มีความแวววาวสูงในรูปของแปดหน้า

ผลึกเพชรเป็นโมเลกุลโพลีเมอร์ขนาดยักษ์ และมักจะมีรูปร่างเหมือนทรงแปดหน้า ทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือโดยทั่วไปจะเป็นทรงลูกบาศก์หรือทรงจัตุรมุข

Dodecahedron (จากภาษากรีก dodeka - สิบสองและ hedra - ใบหน้า) เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ากันหมดสิบสองรูป สิบสองหน้ามีจุดยอด 20 จุดและมีขอบ 30 ด้าน

ไวรัสโปลิโอมีรูปร่างทรงสิบสองหน้า มันสามารถมีชีวิตอยู่และสืบพันธุ์ได้เฉพาะในเซลล์ของมนุษย์และสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเท่านั้น

ในระดับจุลทรรศน์ สิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนเป็นพารามิเตอร์สัมพัทธ์ของ DNA คุณจะเห็นได้ว่าโมเลกุล DNA นั้นเป็นลูกบาศก์ที่หมุนได้ เมื่อลูกบาศก์ถูกหมุนตามลำดับ 72 องศาตามแบบจำลองบางอย่าง จะได้ไอโคซาฮีดรอน ซึ่งในทางกลับกันจะเกิดคู่กับรูปทรงสิบสองหน้า ดังนั้นเกลียวคู่ของ DNA helix จึงถูกสร้างขึ้นบนหลักการของการติดต่อแบบสองทาง: icosahedron ตามด้วย dodecahedron จากนั้น icosahedron อีกครั้งและอื่น ๆ การหมุนผ่านลูกบาศก์นี้จะสร้างโมเลกุล DNA

หนังสือ Heartmath ของ Dan Winter แสดงให้เห็นว่าโมเลกุล DNA ประกอบด้วยความสัมพันธ์แบบคู่ระหว่างทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอน

ไอโคซาฮีดรอน - รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติ 20 รูป icosahedron มี 30 ขอบ

ในบทสนทนาของเขา เพลโตเชื่อมโยงรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกับองค์ประกอบทั้ง 4 จัตุรมุขตรงกับไฟ ลูกบาศก์ตรงกับดิน ทรงแปดหน้าตรงกับอากาศ และทรงโคซาเฮดรอนตรงกับน้ำ รูปทรงสิบสองหน้าสอดคล้องกับองค์ประกอบที่ห้า – อีเธอร์

มีรูปหลายเหลี่ยมปกติมากมายไม่สิ้นสุด: สำหรับแต่ละรูป n =>3 ถูกต้อง n – สี่เหลี่ยมจัตุรัส (และมีเพียงอันเดียวเท่านั้น ขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกัน) มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าแบบเท่านั้น

บางทีคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนอาจถูกค้นพบโดย Rene Descartes ประมาณปี 1620 สูตรเดียวกันนี้ถูกค้นพบอีกครั้งโดย Leonhard Euler เมื่อเขาอธิบายประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนขึ้นอยู่กับจำนวนจุดยอดของมัน

ให้ B เป็นจำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน P คือจำนวนขอบ และ G คือจำนวนหน้า แล้วความเท่าเทียมกัน V-P+G=2 เป็นจริง

นี้ ตัวเลขนี้เรียกว่าคุณลักษณะออยเลอร์ของรูปทรงหลายเหลี่ยม

แต่ประวัติศาสตร์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมไม่ได้หยุดอยู่แค่ห้าร่างธรรมดา ตามของแข็งปกติของเพลโต ก็ค้นพบของแข็งกึ่งปกติของอาร์คิมิดีส

ของแข็งอาร์คิมีดีนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมอและเป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน มุมหลายรูปทรงทุกมุมเท่ากัน และมีใบหน้าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติหลายประเภท (ในที่นี้พวกมันแตกต่างจากของแข็งพลาโตนิก ซึ่งใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ชนิดเดียวกัน) การค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนกึ่งปกติจำนวน 13 ชิ้นเป็นผลจากอาร์คิมิดีส โยฮันเนส เคปเลอร์ยังได้ศึกษาทฤษฎีเกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้ด้วย

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมอาร์คิมีดีนคือปริซึมอาร์คิมีดีน ซึ่งก็คือปริซึม n-gonal ปกติที่มีด้านเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

อีกตัวอย่างหนึ่งคือสิ่งที่เรียกว่าแอนติปริซึมอาร์คิมีดีนแบบ n-gonal สามารถหาค่านี้ได้หากฐานใดฐานหนึ่งของปริซึม n-gonal ปกติ (n>4) ถูกหมุนรอบแกนของปริซึมเป็นมุม - จากนั้นเชื่อมต่อแต่ละจุดยอดของฐานนี้ด้วยเซกเมนต์กับจุดยอดที่ใกล้ที่สุดของอีกฐานหนึ่ง ฐาน; ในกรณีนี้ต้องเลือกความสูงของปริซึมเพื่อให้ส่วนเหล่านี้เท่ากับด้านข้างของฐาน (กล่าวอีกนัยหนึ่งใบหน้าด้านข้างของแอนติปริซึมจะต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ) เมื่อเปลี่ยน n เราจะได้อนุกรมของอาร์คิมีดีนโพลีเฮดราจำนวนอนันต์สองชุด - ปริซึมและแอนติปริซึม

ตัวเลขที่ง่ายที่สุดนั้นได้มาจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติโดย "การตัดทอน" ซึ่งประกอบด้วยการตัดมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบ

ถ้าเราตัดมุมของจัตุรมุขด้วยระนาบ ซึ่งแต่ละมุมตัดหนึ่งในสามของขอบที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่ง เราจะได้จัตุรมุขที่ถูกตัดทอนซึ่งมีแปดหน้า ในจำนวนนี้มีสี่รูปเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติและสี่รูปเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ใบหน้าทั้งสามมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้

โปรดทราบว่าพื้นผิวของลูกฟุตบอลนั้นมีรูปร่างเหมือนพื้นผิวของไอโคซาฮีดรอนที่ถูกตัดทอน

วิธีที่สองในการรับรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบกึ่งปกติคือการตัดส่วนของลูกบาศก์ออกโดยให้ระนาบผ่านจุดกึ่งกลางของขอบที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่ง ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติที่เรียกว่าทรงลูกบาศก์ ใบหน้าของมันคือสี่เหลี่ยมจตุรัสหกอันเหมือนลูกบาศก์ และสามเหลี่ยมปกติแปดอันเหมือนแปดหน้า

วิธีที่สามคือการรวมวิธีที่หนึ่งและสองเข้าด้วยกัน วาดระนาบการตัดผ่านจุดกึ่งกลางของขอบที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่ง และดำเนินการ "การตัดทอน"

ที่น่าสนใจคือในช่วงครึ่งหลัง XX วี. ของแข็งอีกชนิดหนึ่งของอาร์คิมิดีสถูกค้นพบ นั่นคือ pseudorhombocubooctahedron ซึ่งไม่สามารถหาได้จากการตัดทอนของแข็ง Platonic ที่คล้ายคลึงกัน ดังนั้นจึงไม่มีใครสังเกตเห็นมาเป็นเวลากว่า 2,000 ปีแล้ว

ในช่วงปลายทศวรรษที่ 50 - ต้นทศวรรษที่ 60 ของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์หลายคนเกือบจะพร้อมกันโดยไม่แยกจากกันชี้ให้เห็นถึงการมีอยู่ของ pseudorhombocubooctahedron pseudo-rhombocubooctahedron ประกอบด้วยหน้าของลูกบาศก์และ octahedron ซึ่งมีการเพิ่มช่องสี่เหลี่ยมอีก 12 ช่อง

สมมติฐานทางจักรวาลวิทยาของนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันโยฮันเนสเคปเลอร์นั้นดั้งเดิมมากซึ่งเขาเชื่อมโยงคุณสมบัติบางอย่างของระบบสุริยะกับคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เคปเลอร์เสนอว่าระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ทั้ง 6 ดวงในขณะนั้นนั้นแสดงออกมาในรูปของมิติของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติ 5 ดวง ระหว่าง "ทรงกลมท้องฟ้า" แต่ละคู่ซึ่งตามสมมติฐานนี้ ดาวเคราะห์หมุนรอบ เคปเลอร์ได้จารึกหนึ่งในของแข็งพลาโตนิก มีการอธิบายรูปแปดหน้ารอบทรงกลมของดาวพุธ ซึ่งเป็นดาวเคราะห์ที่อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากที่สุด ทรงแปดหน้านี้ถูกจารึกไว้ในทรงกลมของดาวศุกร์ ซึ่งเป็นบริเวณที่บรรยายถึงรูปทรงสามมิติ มีการอธิบายทรงกลมของโลกไว้รอบ ๆ รูปทรงหลายหน้า และมีการอธิบายรูปทรงสิบสองหน้ารอบทรงกลมนี้

รูปทรงสิบสองหน้าถูกจารึกไว้ในทรงกลมของดาวอังคาร ซึ่งมีการบรรยายถึงจัตุรมุขรอบ ๆ ทรงกลมของดาวพฤหัสบดีซึ่งถูกจารึกไว้ในลูกบาศก์นั้นอธิบายไว้รอบๆ จัตุรมุข ในที่สุด ทรงกลมของดาวเสาร์ก็ถูกอธิบายรอบลูกบาศก์โมเดลนี้ดูน่าเชื่อถือมากในช่วงเวลานั้น ในขณะนี้ทฤษฎีนี้ถูกปฏิเสธโดยสิ้นเชิง

รูปแปดด้านของดาวมันถูกค้นพบโดย Leonardo Da Vinci จากนั้นเกือบ 100 ปีต่อมา I. Kepler ค้นพบอีกครั้ง และเขาตั้งชื่อมันว่า "Stella octangula" ซึ่งเป็นดาวแปดเหลี่ยม ดังนั้นรูปแปดหน้าจึงมีชื่อที่สองว่า "รูปแปดเหลี่ยมของเคปเลอร์" ทรงแปดหน้ามีรูปดาวเพียงดวงเดียว ถือได้ว่าเป็นการเชื่อมต่อของจัตุรมุขสองตัว

รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่เป็นของตระกูลของแข็งเคปเลอร์-พอยโซต์ ซึ่งก็คือรูปทรงโพลีเฮดราที่ไม่นูนปกติ ใบหน้าของรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่เป็นรูปดาวห้าแฉก เช่นเดียวกับใบหน้าของรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดเล็ก แต่ละจุดยอดมีสามใบหน้าเชื่อมต่อกัน จุดยอดของรูปทรงสิบสองหน้าที่มีกลุ่มดาวใหญ่ตรงกับจุดยอดของรูปทรงสิบสองหน้าตามที่อธิบายไว้ รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวฤกษ์ใหญ่ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยเคปเลอร์ในปี 1619

เคปเลอร์ไม่รู้ว่าตัวเลขที่เขาได้รับนั้นมีสองเท่า รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งเรียกว่า "รูปทรงสิบสองหน้าที่ยิ่งใหญ่" ถูกสร้างขึ้นโดยนักเรขาคณิตชาวฝรั่งเศส Louis Punchon สองร้อยปีหลังจากร่างดาวของเคปเลอร์

รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบมีดาว- icosahedron มียี่สิบหน้า หากแต่ละส่วนดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด ร่างกายก็จะถูกล้อมรอบด้วยช่องต่างๆ มากมาย - บางส่วนของพื้นที่ที่ถูกจำกัดโดยระนาบของใบหน้า ไอโคซาฮีดรอนทุกรูปแบบสามารถรับได้โดยการเพิ่มช่องดังกล่าวเข้ากับตัวถังเดิม ไม่นับไอโคซาฮีดรอนด้วยซ้ำ ส่วนต่อขยายของใบหน้าจะถูกแยกออกจากช่องว่าง 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 ช่อง ซึ่งมีหลายรูปทรงและขนาดต่างกัน อิโคซาเฮดรอนอันยิ่งใหญ่ (ดูรูป) ประกอบด้วยชิ้นส่วนเหล่านี้ทั้งหมด ยกเว้นหกสิบชิ้นสุดท้าย

ไอโคซิโดเดคาเฮดรอนมี 32 หน้า โดย 12 หน้าเป็นหน้าห้าเหลี่ยมปกติ และอีก 20 หน้าเป็นหน้าสามเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติตลอดประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติไม่เคยหยุดที่จะสร้างความประหลาดใจให้กับจิตใจที่สอบถามด้วยความสมมาตร สติปัญญา และความสมบูรณ์แบบของรูปแบบของพวกเขา

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• แนะนำนักเรียนให้รู้จักกับแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าประเภท
• ส่งเสริมการพัฒนาทักษะในการใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เมื่อเรียนรู้เนื้อหาใหม่
• ส่งเสริมการพัฒนากิจกรรมอิสระความสามารถในการเปรียบเทียบและสรุป

อุปกรณ์การเรียน:

• มัลติมีเดีย โปรเจคเตอร์ หน้าจอ คอมพิวเตอร์
• การนำเสนอ "รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ"
• แบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
• การ์ด – งาน “งานตามแบบที่เสร็จแล้ว” – ภาคผนวก 1
• ตาราง "รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ"
• เอกสารประกอบคำบรรยาย “ปริศนาอักษรไขว้” – ภาคผนวก 2

ระหว่างชั้นเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร(5 นาที.)

การตั้งเป้าหมายของบทเรียน (ข้อความของหัวข้อ วัตถุประสงค์ของบทเรียน และลำดับงาน)
ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นมีลักษณะเป็นบทเรียนหนึ่งบทเรียนที่เน้นไปที่การศึกษา วัสดุบนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติช่วยเสริมส่วน "โพลีเฮดรา" ได้อย่างมีเหตุผล ในความเป็นจริงการจำแนกประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมยังคงดำเนินต่อไปที่นี่ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแตกต่างจากรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูน

2. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่(15 นาที.)

ครูจำเป็นต้องจัดระเบียบงานเพื่อให้แนวคิดใหม่ของ "รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ" เกิดขึ้นจากแนวคิดที่นักเรียนกำหนดไว้แล้วเกี่ยวกับปริซึมปกติ ปิรามิด และรูปหลายเหลี่ยมปกติ
มีรายงานการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าประเภทโดยไม่มีการพิสูจน์ การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สามารถพิจารณาได้ในชั้นเรียนของวิชาเลือกที่เกี่ยวข้อง

การนำเสนอ "รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ"

การนำเสนอจัดทำขึ้นในหัวข้อ “รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ” สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11 และนักเรียนโรงเรียนอาชีวศึกษา วัสดุนี้นำเสนอข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ คุณสมบัติ และคุณสมบัติต่างๆ มีตัวอย่างมาจากโลกภายนอกที่สามารถพบรูปทรงหลายเหลี่ยมได้ การนำเสนอนี้สามารถนำไปใช้ในบทเรียนเรขาคณิต วิชาเลือก ตลอดจนกิจกรรมนอกหลักสูตรทางคณิตศาสตร์

การใช้การนำเสนอในห้องเรียนช่วยประหยัดเวลาและทำให้การเรียนรู้เนื้อหาน่าสนใจ มีสีสัน และไม่ธรรมดามากขึ้น

สไลด์ 2, 3– มีการแนะนำคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและนักเรียนจะตรวจสอบความเชี่ยวชาญในคำจำกัดความด้วยตนเอง
“มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงไม่กี่อันที่น่าตกใจ”แอล. แคร์โรลล์เคยเขียนไว้ว่า “แต่การปลดประจำการที่เจียมเนื้อเจียมตัวนี้สามารถเจาะลึกวิทยาศาสตร์ต่างๆ ได้”

สไลด์ 4-9– มีการรายงานการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าประเภท และสำหรับแต่ละรูปทรงหลายเหลี่ยมจะมีการนำเสนอภาพวาด ภาพสามมิติ การพัฒนาพื้นผิว และคุณสมบัติพื้นฐาน
ตั้งแต่สมัยโบราณ รูปทรงหลายเหลี่ยมได้ดึงดูดความสนใจของผู้คนด้วยความงาม ความสมบูรณ์แบบ และความกลมกลืน

สไลด์ 10– ข้อมูลทางประวัติศาสตร์ - ข้อมูลจากประวัติศาสตร์เกี่ยวกับเพลโตและรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

สไลด์ 11– องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบ ทฤษฎีบทของออยเลอร์

สไลด์15– เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

ความสนใจเป็นพิเศษในรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นสัมพันธ์กับความสวยงามและความสมบูรณ์แบบของรูปทรงของมัน พวกมันค่อนข้างธรรมดาในธรรมชาติ

สไลด์ 12, 13– รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในธรรมชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านผลึกศาสตร์

สไลด์ 14– บทสรุปและการบ้าน
หลังจากเรียนรู้วัสดุใหม่แล้ว การดูดซึมของวัสดุจะถูกตรวจสอบโดยใช้โมเดลโครงลวดและระนาบของโพลีเฮดรา และตาราง "โพลีเฮดราแบบปกติ" หลังจากนั้นนักเรียนเริ่มแก้ไขปัญหาโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป

3. การแก้ปัญหา(17 นาที) – ภาคผนวก 1

№1. จงหาความสูงของจัตุรมุขธรรมดาที่มีขอบ 10 ซม.

ที่ให้ไว้: ABCD – จัตุรมุขปกติ
เอบี = 10 ซม

หา: ความสูงของจัตุรมุข

สารละลาย.

1) AF คือค่ามัธยฐานของ ΔABC ซึ่งหมายถึง BF = ______

2) จาก ΔABF โดยใช้ทฤษฎีบท _______ เราจะพบ AF

เอเอฟ 2 = เอบี 2 – บีเอฟ 2

3) O แบ่งส่วน AF ในอัตราส่วน 2:1 ดังนั้น AO = _____________________

4) จาก ΔADO โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพบ DO

ทำ 2 = ____________
ทำ = ____________

คำตอบ: ______ซม

ลำดับที่ 2. แก้ไขปัญหาโดยใช้แผนการแก้ปัญหา

คริสตัลมีรูปทรงแปดด้านประกอบด้วยปิรามิดปกติสองตัวที่มีฐานร่วมกัน ขอบของฐานของปิรามิดอยู่ที่ 6 ซม. ความสูงของทรงแปดหน้าคือ 14 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของคริสตัล .

สารละลาย.

1) Sside = 2 Spyr = p ∙ SK (โดยที่ SK คือเส้นกึ่งกลางด้าน, p คือ ABCD กึ่งเส้นรอบรูป)

2) ค้นหาตกลง _________________________

3) ค้นหาดังนั้น _________________________________
______________________________________

4) ค้นหา SK _________________________________
______________________________________

5) คำนวณด้าน ______________________
______________________________________

№3. พิสูจน์ว่าปลายของเส้นทแยงมุมที่ไม่ขนานสองเส้นที่มีด้านตรงข้ามกันของลูกบาศก์คือจุดยอดของทรงสี่หน้า

4. งานเพิ่มเติม

Crossword (ทำงานเป็นคู่) ภาคผนวก 2
ขึ้นอยู่กับระดับความพร้อมของชั้นเรียนหรือกลุ่มนักเรียน คุณสามารถเสนอให้พวกเขาได้ งานเพิ่มเติมในรูปแบบของปริศนาอักษรไขว้ หากชั้นเรียนหรือกลุ่มมีความสามารถทางคณิตศาสตร์ต่ำ คุณสามารถเสนอปริศนาอักษรไขว้เพื่อแก้โจทย์ในบทเรียนถัดไปโดยเป็นการทำซ้ำเนื้อหาที่เรียนไปก่อนหน้านี้

5. สรุปบทเรียน(5 นาที.)

ผลลัพธ์ของบทเรียนเกี่ยวข้องกับการสนทนากับนักเรียนในตอนท้ายของบทเรียน ไม่เพียงแต่เกี่ยวกับความสำเร็จของการบรรลุเป้าหมายเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสิ่งที่พวกเขาชอบ (ไม่ชอบ) และทำไม สิ่งที่เป็นประโยชน์สำหรับเขาเป็นการส่วนตัว สิ่งที่เขาจะทำ ชอบย้ำว่ามีอะไรเปลี่ยนแปลงในการทำงานในอนาคต

6. การบ้าน(3 นาที)

สร้างการพัฒนาพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (จัตุรมุขปกติ, ลูกบาศก์, แปดหน้า)
ตอบคำถามหมายเลข 30, 31 หน้า 243, Pogorelov A.V. “ เรขาคณิต 10-11”
แก้ไขปัญหาหมายเลข 57 หน้า 249, หมายเลข 70 หน้า 248

การบ้านรวมถึงการแก้ปัญหาและสร้างตาข่ายและแบบจำลองรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ นักเรียนสามารถเลือกได้ว่าจะสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบใด (คุณสามารถ "แบ่ง" ชั้นเรียนหรือกลุ่มออกเป็นห้ากลุ่มตามจำนวนประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและเสนอให้แต่ละกลุ่มสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติเพียงแบบเดียวเท่านั้น)

รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นพื้นผิวที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่เชื่อมตัวเรขาคณิตเข้าด้วยกัน รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบนูนและไม่นูน รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนหากอยู่บนด้านหนึ่งของระนาบของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละอันบนพื้นผิว

รูปทรงแปดหน้า รูปทรงแปดหน้า (กรีก οκτάεδρον จากภาษากรีก οκτώ, “แปด” และภาษากรีก έδρα “ฐาน”) เป็นหนึ่งในห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินูน หรือที่เรียกว่าของแข็งพลาโตนิก Platonic polyhedra ปกติ ทรงแปดหน้ามีหน้าสามเหลี่ยม 8 หน้า 12 ขอบ 6 จุดยอด และ 4 ขอบมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด

Icosahedron Icosahedron (จากภาษากรีก εικοσάς ยี่สิบ; -εδρον หน้า, หน้า, ฐาน) เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติ มียี่สิบหน้า ซึ่งเป็นหนึ่งในของแข็งแบบพลาโตนิก ใบหน้าทั้ง 20 หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จำนวนขอบคือ 30 จำนวนจุดยอดคือ 12 ไอโคซาเฮดรอนมีรูปร่างเป็นรูปดาว 59 รูป

โดเดคาฮีดรอน โดเดคาฮีดรอน (จากภาษากรีก δώδεκα หน้า 12 และ εδρον) โดเดคาฮีดรอนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติ 12 รูป จุดยอดแต่ละจุดของรูปทรงสิบสองหน้าคือจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติของกรีกสามจุดของจุดยอดรูปห้าเหลี่ยมปกติ ดังนั้น รูปทรงสิบสองหน้าจึงมี 12 หน้า (ห้าเหลี่ยม) 30 ขอบ และ 20 จุดยอด (มี 3 ขอบมาบรรจบกันในแต่ละด้าน) ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดทั้ง 20 จุด เท่ากับ 324°.มุม

สารบัญ: วัตถุประสงค์ของโครงการ วัตถุประสงค์ของโครงการ วัตถุประสงค์ของโครงการ Term รูปทรงโพลีเฮดรา Term รูปทรงหลายเหลี่ยม Term รูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยม ประวัติศาสตร์ ประวัติศาสตร์ ประวัติศาสตร์ เพลโต เพลโต เพลโต ของแข็งแบบเพลโต ของแข็งแบบเพลโต ของแข็งแบบเพลโต ของแข็งแบบ Platonic Euclid Euclid Euclid Archimedes Archimedes Archimedes ของแข็ง Archimedean ของแข็ง Archimedean ของแข็ง Archimedean โยฮันเนส เคปเลอร์ โยฮันเนส เคปเลอร์ โยฮันน์ เคปเลอร์ สมมติฐานจักรวาลวิทยาของเคปเลอร์ สมมติฐานจักรวาลวิทยาของเคปเลอร์ สมมติฐานจักรวาลวิทยาของเคปเลอร์ จัตุรมุข จัตุรมุข จัตุรมุข Icosahedron Icosahedron Icosahedron โดเดคาเฮดรอน โดเดคาเฮดรอน หกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) ทรงแปดหน้า ทรงแปดหน้า Ok tahedron กรณีพิเศษ กรณีพิเศษ กรณีพิเศษ กรณีพิเศษ การพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ การพัฒนาของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ การพัฒนาของทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ทฤษฎีบททฤษฎีบท ตารางคุณลักษณะ ตารางคุณลักษณะ ตารางคุณลักษณะ ตารางคุณลักษณะ รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ การค้นพบในธรรมชาติ การค้นพบในธรรมชาติ การค้นพบ ในธรรมชาติ การค้นพบในธรรมชาติ ประวัติศาสตร์ ช่วยเหลือ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ

รูปทรงหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าปกติถ้าหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน จุดยอดแต่ละจุดจะมีจำนวนขอบเท่ากัน และมุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน รูปทรงหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าปกติถ้าหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน จุดยอดแต่ละจุดจะมีจำนวนขอบเท่ากัน และมุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน

ประวัติความเป็นมาของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ถูกศึกษาโดยนักวิทยาศาสตร์ ช่างอัญมณี นักบวช และสถาปนิก รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้มีคุณสมบัติเวทย์มนตร์ด้วยซ้ำ เพลโต นักวิทยาศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ (ศตวรรษที่ 4-5 ก่อนคริสต์ศักราช) เชื่อว่าร่างกายเหล่านี้เป็นตัวตนของแก่นแท้ของธรรมชาติ ในบทสนทนาของเขา "Timaeus" เพลโตกล่าวว่าอะตอมของไฟมีรูปแบบของจัตุรมุข ของโลก - ของหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) ของอากาศ - ของแปดหน้าของน้ำ - ของ icosahedron ในจดหมายโต้ตอบฉบับนี้ ไม่มีที่สำหรับเพียงรูปทรงสิบสองหน้าเท่านั้น และเพลโตเสนอแนะการมีอยู่ของสาระสำคัญที่ห้าอีกประการหนึ่ง นั่นคือ อีเทอร์ ซึ่งอะตอมมีรูปร่างของรูปทรงสิบสองหน้าอย่างแม่นยำ นักเรียนของเพลโตยังคงทำงานของเขาในการศึกษาร่างที่ระบุไว้ ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้จึงเรียกว่าของแข็งพลาโตนิก สิ่งเหล่านี้ได้รับการศึกษาโดยนักวิทยาศาสตร์ นักอัญมณี นักบวช และสถาปนิก รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้มีคุณสมบัติเวทย์มนตร์ด้วยซ้ำ เพลโต นักวิทยาศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ (ศตวรรษที่ 4-5 ก่อนคริสต์ศักราช) เชื่อว่าร่างกายเหล่านี้เป็นตัวตนของแก่นแท้ของธรรมชาติ ในบทสนทนาของเขา "Timaeus" เพลโตกล่าวว่าอะตอมของไฟมีรูปแบบของจัตุรมุข ของโลก - ของหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) ของอากาศ - ของแปดหน้าของน้ำ - ของ icosahedron ในจดหมายโต้ตอบฉบับนี้ ไม่มีที่สำหรับเพียงรูปทรงสิบสองหน้าเท่านั้น และเพลโตเสนอแนะการมีอยู่ของสาระสำคัญที่ห้าอีกประการหนึ่ง นั่นคือ อีเทอร์ ซึ่งอะตอมมีรูปร่างของรูปทรงสิบสองหน้าอย่างแม่นยำ นักเรียนของเพลโตยังคงทำงานของเขาในการศึกษาร่างที่ระบุไว้ ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้จึงเรียกว่าของแข็งพลาโตนิก

เพลโตประมาณ 429 – 347 ปีก่อนคริสตกาล ของแข็งพลาโตนิกคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่เป็นเนื้อเดียวกันปกติ กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งใบหน้าและมุมทั้งหมดเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ของแข็งพลาโตนิกเป็นอะนาล็อกสามมิติของรูปหลายเหลี่ยมปกติแบบแบน อย่างไรก็ตาม มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างกรณีสองมิติและสามมิติ: มีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่แตกต่างกันมากมายนับไม่ถ้วน แต่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่แตกต่างกันเพียงห้ารูป ข้อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่รู้จักมานานกว่าสองพันปีแล้ว ด้วยการพิสูจน์นี้และการศึกษาวัตถุปกติทั้งห้า องค์ประกอบของยุคลิดจึงเสร็จสมบูรณ์

“จุดเริ่มต้นของยุคลิด “...ไม่มีเส้นทางหลวงในวิทยาศาสตร์” ประมาณปี 365 - 300 พ.ศ. งานหลักของ Euclid คือ "Elements" (ในต้นฉบับ "Stocheia" "Elements" ประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่มต่อมามีเพิ่มอีก 2 เล่ม หกเล่มแรกอุทิศให้กับ planimetry หนังสือ VII - X มีทฤษฎีของตัวเลข หนังสือ XI, XII และ XIII เน้นเรื่อง Stereometry จากหลักการของ Euclid เป็นที่ชัดเจนว่าเขาเป็นตัวแทนของพื้นที่ว่าง ไร้ขีดจำกัด มีไอโซโทรปิก และสามมิติ ที่น่าสนใจคือ "หลักการ" ของ Euclid เปิดขึ้นพร้อมคำอธิบาย การสร้างรูปสามเหลี่ยมปกติและจบลงด้วยการศึกษาวัตถุรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจำนวน 5 ชิ้น ในสมัยของเรา พวกมันถูกเรียกว่า Platonic solid

อาร์คิมีดีสแห่งซีราคิวส์ ประมาณ ค.ศ. 287 - 212 พ.ศ. นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และวิศวกร อาร์คิมิดีสแห่งซีราคิวส์ทิ้งสิ่งประดิษฐ์มากมายไว้เบื้องหลัง บทความสิบสามชิ้น (เช่น "บนทรงกลมและทรงกระบอก", "การวัดวงกลม", "สมดุลของเครื่องบิน", "Stomachion", "Heptagon ปกติ" และอื่นๆ ). อาร์คิมีดีสในฐานะเรขาคณิต ได้กำหนดพื้นผิวของทรงกลมและปริมาตรของมัน ศึกษาพาราโบลอยด์และไฮเปอร์โบลอยด์ ศึกษา "เกลียวอาร์คิมีดีน" และกำหนดจำนวน "ไพ" ให้อยู่ระหว่าง 3.141 ถึง 3.142 การมีส่วนร่วมของอาร์คิมิดีสต่อทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมคือการบรรยายถึงรูปทรงโพลีเฮดราที่เป็นเนื้อเดียวกันนูนกึ่งปกติจำนวน 13 ชิ้น (ของแข็งของอาร์คิมีดีน)

ของแข็งอาร์คิมีดีน ของแข็งอาร์คิมีดีนจำนวนมากสามารถแบ่งออกเป็นหลายกลุ่ม อันแรกจะประกอบด้วยโพลีเฮดราห้าอันซึ่งได้มาจากของแข็งพลาโตนิกอันเป็นผลมาจากการตัดทอน ด้วยวิธีนี้ จึงสามารถหาของแข็งอาร์คิมีดีนได้ห้าชิ้น ได้แก่ จัตุรมุขที่ถูกตัดทอน, เฮกซาเฮดรอนที่ถูกตัดทอน (ลูกบาศก์), ทรงแปดหน้าที่ถูกตัดทอน, สิบสองหน้าที่ถูกตัดทอน และไอโคซาฮีดรอนที่ถูกตัดทอน อีกกลุ่มประกอบด้วยสองส่วนเท่านั้น เรียกอีกอย่างว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ วัตถุทั้งสองนี้เรียกว่าลูกบาศก์ทรงลูกบาศก์และไอโคซิโดเดคาฮีดรอน ตรงกันข้ามกับรอมบิคิวบอคทาเฮดรอนใหญ่และรอมบิซิโดเดคาฮีดรอนอันยิ่งใหญ่ รูปทรงหลายเหลี่ยมสองอันถัดไปเรียกว่า รอมบิคิวบอคทาฮีดรอน และ รอมบิซิโคซิโดเดคาฮีดรอน บางครั้งเรียกอีกอย่างว่า "รอมบิคิวบอคทาเฮดรอนเล็ก" และ "รอมบิซิโดเดคาฮีดรอนเล็ก" ซึ่งตรงกันข้ามกับรอมบิคิวบอคทาเฮดรอนขนาดใหญ่และรอมบิซิโดเดคาฮีดรอนขนาดใหญ่ ท้ายที่สุด มีการดัดแปลงที่เรียกว่า "ดูแคลน" อยู่สองแบบ อย่างหนึ่งสำหรับลูกบาศก์ และอีกอย่างหนึ่งสำหรับทรงสิบสองหน้า แต่ละคนมีลักษณะเฉพาะด้วยตำแหน่งที่หมุนเล็กน้อยของใบหน้าซึ่งทำให้สามารถสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบ "ดูแคลน" แบบเดียวกันได้สองรุ่น (แต่ละรุ่นเป็นภาพสะท้อนในกระจกของอีกฝ่าย)

โยฮันเนส เคปเลอร์ 1571 – 1630 นักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน หนึ่งในผู้ก่อตั้งดาราศาสตร์สมัยใหม่ นักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน หนึ่งในผู้ก่อตั้งดาราศาสตร์สมัยใหม่ การมีส่วนร่วมของเคปเลอร์ต่อทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยม ประการแรก การฟื้นฟูเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ของบทความที่สูญหายของอาร์คิมิดีสเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมเนื้อเดียวกันนูนกึ่งปกติ การมีส่วนร่วมของเคปเลอร์ต่อทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยม ประการแรก การฟื้นฟูเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ของบทความที่สูญหายของอาร์คิมิดีสเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมเนื้อเดียวกันนูนกึ่งปกติ สิ่งที่สำคัญยิ่งกว่านั้นคือข้อเสนอของเคปเลอร์ในการพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมไม่นูนที่มีใบหน้าเป็นรูปดาวคล้ายกับรูปดาวห้าแฉก และต่อมาได้ค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมเนื้อเดียวกันที่ไม่นูนสม่ำเสมอสองชิ้น ได้แก่ รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดเล็กและรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่ สิ่งที่สำคัญยิ่งกว่านั้นคือข้อเสนอของเคปเลอร์ในการพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมไม่นูนที่มีใบหน้าเป็นรูปดาวคล้ายกับรูปดาวห้าแฉก และต่อมาได้ค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมเนื้อเดียวกันที่ไม่นูนสม่ำเสมอสองชิ้น ได้แก่ รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดเล็กและรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่

สมมติฐานทางจักรวาลวิทยาของเคปเลอร์ เคปเลอร์พยายามเชื่อมโยงคุณสมบัติบางอย่างของระบบสุริยะกับคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เขาแนะนำว่าระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ทั้งหกดวงนั้นแสดงออกมาในรูปของขนาดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติ (ของแข็งสงบ) ห้าดวง ระหว่าง "ทรงกลมท้องฟ้า" แต่ละคู่ซึ่งตามสมมติฐานนี้ ดาวเคราะห์หมุนรอบ เคปเลอร์ได้จารึกหนึ่งในของแข็งพลาโตนิก มีการอธิบายรูปแปดหน้ารอบทรงกลมของดาวพุธ ซึ่งเป็นดาวเคราะห์ที่อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากที่สุด ทรงแปดหน้านี้ถูกจารึกไว้ในทรงกลมของดาวศุกร์ ซึ่งเป็นบริเวณที่บรรยายถึงรูปทรงสามมิติ มีการอธิบายทรงกลมของโลกไว้รอบ ๆ รูปทรงหลายหน้า และมีการอธิบายรูปทรงสิบสองหน้ารอบทรงกลมนี้ รูปทรงสิบสองหน้าถูกจารึกไว้ในทรงกลมของดาวอังคาร ซึ่งมีการบรรยายถึงจัตุรมุขรอบ ๆ ทรงกลมของดาวพฤหัสบดีซึ่งถูกจารึกไว้ในลูกบาศก์นั้นอธิบายไว้รอบๆ จัตุรมุข ในที่สุด ทรงกลมของดาวเสาร์ก็ถูกอธิบายรอบลูกบาศก์

จัตุรมุข จัตุรมุข (เตตระ – สี่, เฮดรา – ใบหน้า) จัตุรมุขปกติ - จัตุรมุขปกติซึ่งก็คือจัตุรมุขที่มีขอบเท่ากันนั้นเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติและจากแต่ละจุดยอดซึ่งมีสามขอบโผล่ออกมาอย่างแน่นอน (เตตรา - สี่, เฮดรา - ใบหน้า) จัตุรมุขปกติคือจัตุรมุขปกติ กล่าวคือ จัตุรมุขที่มีขอบเท่ากัน เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และจากแต่ละจุดยอดซึ่งมีขอบสามอันโผล่ออกมาพอดี มี 4 จุดยอด 4 หน้า 6 ขอบ มี 4 จุดยอด 4 หน้า 6 ขอบ ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 180 องศา

อิโคซาเฮดรอน (ประกอบด้วยสามเหลี่ยม 20 รูป) (ประกอบด้วยสามเหลี่ยม 20 รูป) ที่แต่ละจุดยอดของไอโคซาเฮดรอน ที่แต่ละจุดยอดของไอโคซาเฮดรอน มีใบหน้าทั้งห้ามาบรรจบกัน ใบหน้าทั้งห้ามาบรรจบกัน มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และแต่ละจุดยอดมีขอบ 5 ด้าน รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มี 20 หน้า 30 ขอบ 12 จุดยอด และเรียกว่า icosahedron (icosi - 20) มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และแต่ละจุดยอดมีขอบ 5 ด้าน รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มี 20 หน้า 30 ขอบ 12 จุดยอด และเรียกว่า icosahedron (icosi - 20) ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 300 องศา ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 300 องศา

โดเดคาฮีดรอน มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติและมีขอบ 3 ด้านโผล่ออกมาจากแต่ละจุดยอด รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มี 12 หน้า 30 ขอบ และ 20 จุดยอด และเรียกว่ารูปทรงสิบสองหน้า (โดเดกา - สิบสอง) มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ และมีขอบ 3 ด้านโผล่ออกมาจากแต่ละจุดยอด รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มี 12 หน้า 30 ขอบ และ 20 จุดยอด และเรียกว่ารูปทรงสิบสองหน้า (โดเดกา - สิบสอง) ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 324 องศา ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 324 องศา

Hexahedron (ลูกบาศก์) Hexahedron (ลูกบาศก์, เฮกซ่า – หก) hexahedron คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีขอบทั้งสามโผล่ออกมาจากแต่ละจุดยอด Hexahedron (ลูกบาศก์, เฮกซ่า – หก) hexahedron คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีขอบ 3 ด้านโผล่ออกมาจากแต่ละจุดยอด มี 6 หน้า 8 จุดยอด 12 ขอบ มี 6 หน้า 8 จุดยอด 12 ขอบ ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 270 องศา ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 270 องศา

ทรงแปดหน้า ทรงแปดหน้า. นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และมีใบหน้าทรงแปดหน้าสี่หน้าอยู่ติดกับจุดยอดแต่ละจุด นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และมีสี่หน้าอยู่ติดกับจุดยอดแต่ละด้าน มี 8 หน้า 12 ขอบ 6 จุดยอด มี 8 หน้า 12 ขอบ 6 จุดยอด

ลักษณะของรูปทรงหลายเหลี่ยม ชื่อ: จำนวนขอบที่จุดยอด จำนวนด้านของหน้า จำนวนหน้า จำนวนขอบ จำนวนจุดยอด จัตุรมุข 33464 ลูกบาศก์ แปดหน้า โดเดคาเฮดรอน ไอโคซาฮีดรอน

ลูกบาศก์ Snub รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งสม่ำเสมอ รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้สามารถเขียนลงในลูกบาศก์ในลักษณะที่ระนาบของหน้าสี่เหลี่ยมทั้งหกของมันตรงกับระนาบของหน้าของลูกบาศก์ และหน้าสี่เหลี่ยมเหล่านี้ของลูกบาศก์ดูแคลนจะดูเหมือนหมุนเล็กน้อยตามค่าที่สอดคล้องกัน ใบหน้าของลูกบาศก์ ลูกบาศก์ดูแคลน รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้สามารถเขียนลงในลูกบาศก์ในลักษณะที่ระนาบของหน้าสี่เหลี่ยมทั้งหกของมันตรงกับระนาบของหน้าของลูกบาศก์ และหน้าสี่เหลี่ยมเหล่านี้ของลูกบาศก์ดูแคลนจะดูเหมือนหมุนเล็กน้อยตามค่าที่สอดคล้องกัน ใบหน้าของลูกบาศก์ รอมบิโคซิโดเดคาเฮดรอน โมเดลนี้เป็นหนึ่งในรุ่นที่น่าสนใจที่สุดในบรรดาโมเดลของแข็ง Archimedean อื่นๆ ทั้งหมด ใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยม รอมบิโคซิโดเดคาเฮดรอน โมเดลนี้เป็นหนึ่งในรุ่นที่น่าสนใจที่สุดในบรรดาโมเดลของแข็ง Archimedean อื่นๆ ทั้งหมด ใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยม ขนมเปียกปูนทรงลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกอีกอย่างว่าลูกบาศก์ทรงลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน โดยมีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม และแปดเหลี่ยม ขนมเปียกปูนทรงลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกอีกอย่างว่าลูกบาศก์ทรงลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน โดยมีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม และแปดเหลี่ยม รูปทรงสิบสองหน้าดูแคลนเป็นรูปทรงสุดท้ายในตระกูลรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมอกัน ใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมและห้าเหลี่ยม รูปทรงสิบสองหน้าดูแคลนเป็นรูปทรงสุดท้ายในตระกูลรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมอกัน ใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมและห้าเหลี่ยม

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน. (ของแข็งที่ยื่นออกมา) ประกอบด้วยลูกบาศก์เจ็ดก้อน ก่อตัวเป็น "ไม้กางเขน" เชิงพื้นที่และรูปทรงสิบสองหน้า

การค้นพบในธรรมชาติในวัตถุที่เป็นผลึก อนุภาคจะถูกจัดเรียงตามลำดับที่เข้มงวด ก่อตัวเป็นโครงสร้างเชิงพื้นที่ซ้ำเป็นระยะๆ ตลอดปริมาตรทั้งหมดของร่างกาย ในการแสดงโครงสร้างดังกล่าวด้วยสายตาจะใช้โครงตาข่ายคริสตัลเชิงพื้นที่ที่โหนดซึ่งมีศูนย์กลางของอะตอมหรือโมเลกุลของสารที่กำหนด ส่วนใหญ่แล้วโครงตาข่ายคริสตัลจะถูกสร้างขึ้นจากอะตอมไอออน (ประจุบวกและประจุลบ) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของโมเลกุลของสารที่กำหนด ตัวอย่างเช่น โครงตาข่ายของเกลือแกงประกอบด้วย Na+ และ Cl– ไอออน ซึ่งไม่ได้รวมกันเป็นคู่จนเกิดเป็นโมเลกุล NaCl ผลึกดังกล่าวเรียกว่าไอออนิก ในวัตถุที่เป็นผลึก อนุภาคจะถูกจัดเรียงตามลำดับที่เข้มงวด ก่อให้เกิดโครงสร้างเชิงพื้นที่ซ้ำเป็นระยะๆ ทั่วทั้งปริมาตรของร่างกาย ในการแสดงโครงสร้างดังกล่าวด้วยสายตาจะใช้โครงตาข่ายคริสตัลเชิงพื้นที่ที่โหนดซึ่งมีศูนย์กลางของอะตอมหรือโมเลกุลของสารที่กำหนด ส่วนใหญ่แล้วโครงตาข่ายคริสตัลจะถูกสร้างขึ้นจากอะตอมไอออน (ประจุบวกและประจุลบ) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของโมเลกุลของสารที่กำหนด ตัวอย่างเช่น โครงตาข่ายของเกลือแกงประกอบด้วย Na+ และ Cl– ไอออน ซึ่งไม่ได้รวมกันเป็นคู่จนเกิดเป็นโมเลกุล NaCl ผลึกดังกล่าวเรียกว่าไอออนิก

คริสตัล โครงโลหะคริสตัลมักอยู่ในรูปของปริซึมหกเหลี่ยม (สังกะสี แมกนีเซียม) ลูกบาศก์ที่มีใบหน้าเป็นศูนย์กลาง (ทองแดง ทอง) หรือลูกบาศก์ที่มีลำตัวเป็นศูนย์กลาง (เหล็ก) โลหะขัดแตะคริสตัลมักอยู่ในรูปของปริซึมหกเหลี่ยม (สังกะสี แมกนีเซียม) ลูกบาศก์ที่มีใบหน้าเป็นศูนย์กลาง (ทองแดง ทอง) หรือลูกบาศก์ที่มีลำตัวเป็นศูนย์กลาง (เหล็ก) เนื้อผลึกอาจเป็นผลึกเดี่ยวหรือโพลีคริสตัลก็ได้ วัสดุโพลีคริสตัลไลน์ประกอบด้วยผลึกขนาดเล็กที่เรียงตัวแบบสุ่มหลายตัวหลอมรวมเข้าด้วยกัน ซึ่งเรียกว่าผลึก ผลึกเดี่ยวขนาดใหญ่มักไม่ค่อยพบในธรรมชาติและเทคโนโลยี ส่วนใหญ่แล้วของแข็งที่เป็นผลึกรวมถึงของแข็งที่ได้รับจากการประดิษฐ์นั้นเป็นโพลีคริสตัล เนื้อผลึกอาจเป็นผลึกเดี่ยวหรือโพลีคริสตัลก็ได้ วัสดุโพลีคริสตัลไลน์ประกอบด้วยผลึกขนาดเล็กที่เรียงตัวแบบสุ่มหลายตัวหลอมรวมเข้าด้วยกัน ซึ่งเรียกว่าผลึก ผลึกเดี่ยวขนาดใหญ่มักไม่ค่อยพบในธรรมชาติและเทคโนโลยี ส่วนใหญ่แล้วของแข็งที่เป็นผลึกรวมถึงที่ได้มาจากการประดิษฐ์นั้นเป็นโพลีคริสตัลแบบธรรมดา: 1 – ตาข่ายลูกบาศก์แบบธรรมดา; 2 – ตาข่ายลูกบาศก์ตรงกลางหน้า; 3 – ตาข่ายลูกบาศก์ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ตัวถัง; 4 – ตาข่ายหกเหลี่ยม

คริสตัลเป็นแคลเซียมโพลีเฮดรา เมื่อถูกกระแทก ผลึกแคลไซต์จะแยกออกเป็นรูปร่างปกติ โดยแต่ละหน้าจะมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน แคลเซียมก่อตัวเป็นผลึกหลายประเภทตั้งแต่พลาสติกไปจนถึงรูปทรงแท่งปริซึมที่ยาว แคลเซียม. เมื่อถูกกระแทก ผลึกแคลไซต์จะแยกออกเป็นรูปร่างปกติ โดยแต่ละหน้าจะมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน แคลเซียมก่อตัวเป็นผลึกหลายประเภทตั้งแต่พลาสติกไปจนถึงรูปทรงแท่งปริซึมที่ยาว อะพาไทต์. พวกมันก่อตัวเป็นผลึกในรูปของปริซึมสี่เหลี่ยม อะพาไทต์. พวกมันก่อตัวเป็นผลึกในรูปของปริซึมสี่เหลี่ยม เบริลเลียม. โดยทั่วไปจะพบเป็นผลึกหกเหลี่ยมเรียงเป็นแนว เบริลเลียม. โดยทั่วไปจะพบเป็นผลึกหกเหลี่ยมเรียงเป็นแนว

ประวัติความเป็นมาของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติย้อนกลับไปในสมัยโบราณ เริ่มตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสต์ศักราช โรงเรียนปรัชญาถูกสร้างขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปจากเรขาคณิตเชิงปฏิบัติไปเป็นเรขาคณิตเชิงปรัชญา การใช้เหตุผลด้วยความช่วยเหลือซึ่งเป็นไปได้ที่จะได้รับคุณสมบัติทางเรขาคณิตใหม่ได้รับความสำคัญอย่างยิ่งในโรงเรียนเหล่านี้ ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ หนึ่งในโรงเรียนแรกๆ และมีชื่อเสียงที่สุดคือโรงเรียนพีทาโกรัส ซึ่งตั้งชื่อตามผู้ก่อตั้งโรงเรียนพีทาโกรัส สัญลักษณ์ที่โดดเด่นของพีทาโกรัสคือรูปดาวห้าแฉก ในภาษาคณิตศาสตร์เป็นรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่นูนหรือรูปดาวปกติ รูปดาวห้าแฉกได้รับมอบหมายความสามารถในการปกป้องบุคคลจากวิญญาณชั่วร้าย

โลก ดิน hexahedron hexahedron (คิวบ์) (คิวบ์) จักรวาล จักรวาลโดเดคาเฮดรอน ชาวพีทาโกรัสแล้วเพลโตเชื่อว่าสสารประกอบด้วยองค์ประกอบพื้นฐานสี่ประการ ได้แก่ ไฟ ดิน ลม และน้ำ พวกเขาถือว่าการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าอันเกิดจากโครงสร้างของสสารและจักรวาล ตามความเห็นนี้ อะตอมขององค์ประกอบพื้นฐานจะต้องมีรูปแบบของของแข็ง Platonic ต่างๆ:

ศิลปินเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ในช่วงยุคเรอเนซองส์ ประติมากร สถาปนิก และศิลปินแสดงความสนใจอย่างมากในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ Leonardo da Vinci รู้สึกทึ่งกับทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมและมักวาดภาพพวกมันบนผืนผ้าใบของเขา เขาวาดภาพหนังสือของพระ Luca Pacioli เพื่อนของเขาเรื่อง “On Divine Proportion” ด้วยภาพของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและแบบกึ่งปกติ ในช่วงยุคเรอเนซองส์ ประติมากร สถาปนิก และศิลปินแสดงความสนใจอย่างมากในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ Leonardo da Vinci รู้สึกทึ่งกับทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมและมักวาดภาพพวกมันบนผืนผ้าใบของเขา เขาอธิบายหนังสือของพระ Luca Pacioli เพื่อนของเขาเรื่อง “On Divine Proportion” พร้อมรูปภาพรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและแบบกึ่งปกติ

ในภาพวาด "กระยาหารมื้อสุดท้าย" โดยศิลปิน Salvador Dali พระคริสต์และสาวกของพระองค์ถูกบรรยายบนพื้นหลังของรูปทรงสิบสองหน้าโปร่งใสขนาดใหญ่ ตามโบราณวัตถุ จักรวาลมีรูปร่างทรงสิบสองหน้า กล่าวคือ พวกเขาเชื่อว่าเราอาศัยอยู่ในห้องนิรภัยที่มีรูปร่างเหมือนพื้นผิวของรูปทรงสิบสองหน้าปกติ

ปิรามิดแห่งอียิปต์ ในบรรดาปิรามิดของอียิปต์ ปิรามิดของฟาโรห์ Cheops ครอบครองสถานที่พิเศษ ความยาวของด้านข้างของฐานคือ L = 233.16 ม. ความสูง ส =146.6; 148.2 ม. เบื้องต้นประเมินความสูงไม่ถูกต้อง นี่เป็นเพราะการทรุดตัวของตะเข็บการเสียรูปของบล็อกและการถอดชิ้นส่วนด้านบนบางส่วนจาก S 66 ถึง 1,010 ม. ในบรรดาปิรามิดของอียิปต์ปิรามิดของฟาโรห์ Cheops ครอบครองสถานที่พิเศษ ความยาวของด้านข้างของฐานคือ L = 233.16 ม. ความสูง ส =146.6; 148.2 ม. เบื้องต้นประเมินความสูงไม่ถูกต้อง นี่เป็นเพราะการทรุดตัวของตะเข็บ การเสียรูปของบล็อก และการถอดชิ้นส่วนด้านบนบางส่วนจาก S 66 ถึง 1,010 ม.

มุมเอียงของใบหน้า = 5151 วัดครั้งแรกโดยพันเอกอังกฤษ G. Vaizov ในปี 1837 tg = 1.27306 = vd = 1, มุมเอียงของใบหน้า = 5151 วัดครั้งแรกโดยพันเอกอังกฤษ G. Wise ในปี 1837 tg = 1.27306 = vd = 1.27202

สุสานหลวง มหาพีระมิดถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นสุสานของคูฟู ซึ่งชาวกรีกรู้จักในชื่อ Cheops เขาเป็นหนึ่งในฟาโรห์หรือกษัตริย์แห่งอียิปต์โบราณ และสุสานของเขาสร้างเสร็จในปี 2580 ปีก่อนคริสตกาล ต่อมา มีการสร้างปิรามิดอีกสองแห่งที่กิซ่าสำหรับลูกชายและหลานชายของคูฟู และปิรามิดขนาดเล็กสำหรับราชินีของพวกเขา ปิรามิดของคูฟูซึ่งอยู่ไกลที่สุดในภาพเป็นปิรามิดที่ใหญ่ที่สุด ปิรามิดของลูกชายอยู่ตรงกลางและดูสูงขึ้นเพราะตั้งอยู่บนที่สูงกว่า

ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ประภาคารถูกสร้างขึ้นเพื่อให้เรือสามารถผ่านแนวปะการังได้อย่างปลอดภัยระหว่างทางไปอ่าวอเล็กซานเดรีย ในตอนกลางคืนพวกเขาได้รับความช่วยเหลือจากการสะท้อนของเปลวไฟและในระหว่างวันโดยกลุ่มควัน ประภาคารแห่งนี้เป็นประภาคารแห่งแรกของโลกและมีอายุยืนยาวถึง 1,500 ปี ประภาคารฟารอสประกอบด้วยหอคอยหินอ่อนสามหลังที่ตั้งตระหง่านอยู่บนฐานของก้อนหินขนาดใหญ่ หอคอยหลังแรกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและมีห้องต่างๆ ที่คนงานและทหารอาศัยอยู่ เหนือหอคอยนี้มีหอคอยแปดเหลี่ยมขนาดเล็กกว่าซึ่งมีทางลาดวนที่นำไปสู่หอคอยด้านบน หอคอยด้านบนมีรูปร่างเหมือนทรงกระบอกซึ่งมีไฟลุกอยู่ซึ่งช่วยให้เรือไปถึงอ่าวได้อย่างปลอดภัย บนยอดหอคอยมีรูปปั้นของซุสพระผู้ช่วยให้รอด ความสูงรวมของประภาคารคือ 117 เมตร ประภาคารอเล็กซานเดรียน

สัตว์ที่ง่ายที่สุด โครงกระดูกของสิ่งมีชีวิตเซลล์เดียว Circogonia icosahedra มีรูปร่างเหมือน icosahedron โครงกระดูกของสิ่งมีชีวิตเซลล์เดียว Circogonia icosahedra มีรูปร่างเหมือน icosahedron อาหารสัตว์ส่วนใหญ่อาศัยอยู่ในส่วนลึกของทะเลและทำหน้าที่เป็นเหยื่อของปลาปะการัง แต่สัตว์ที่ง่ายที่สุดจะปกป้องตัวเองด้วยหนามทั้ง 12 อันที่โผล่ออกมาจากยอดโครงกระดูกทั้ง 12 ยอด ดูเหมือนดาวหลายเหลี่ยมมากกว่า อาหารสัตว์ส่วนใหญ่อาศัยอยู่ในส่วนลึกของทะเลและทำหน้าที่เป็นเหยื่อของปลาปะการัง แต่สัตว์ที่ง่ายที่สุดจะปกป้องตัวเองด้วยหนามทั้ง 12 อันที่โผล่ออกมาจากยอดโครงกระดูกทั้ง 12 ยอด ดูเหมือนดาวหลายเหลี่ยมมากกว่า ในบรรดารูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจำนวนหน้าเท่ากัน ไอโคซาฮีดรอนมีปริมาตรมากที่สุดโดยมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด คุณสมบัตินี้ช่วยให้สิ่งมีชีวิตในทะเลสามารถเอาชนะแรงกดดันของคอลัมน์น้ำได้

สิ่งที่น่าสนใจคือ icosahedron กลายเป็นจุดสนใจของนักชีววิทยาในข้อพิพาทเกี่ยวกับรูปร่างของไวรัส รูปทรงของไวรัสกลายเป็นจุดสนใจของการถกเถียงของนักชีววิทยาเกี่ยวกับรูปร่างของไวรัส ไวรัสไม่สามารถกลมได้อย่างสมบูรณ์อย่างที่คิดไว้ก่อนหน้านี้ เพื่อสร้างรูปร่าง พวกมันใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมหลายแบบและส่องแสงไปที่พวกมันในมุมเดียวกับการไหลของอะตอมที่ไวรัส ปรากฎว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียงอันเดียวเท่านั้นที่ให้เงาแบบเดียวกันนั่นคือไอโคซาเฮดรอน