Головна Історії успіху Властивості додекаедру та цікаві факти. Правильні багатогранники Презентація на тему октаедр

Властивості додекаедру та цікаві факти. Правильні багатогранники Презентація на тему октаедр

Cлайд 1

Cлайд 2

СИМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ “Симетрія є тією ідеєю, з якої людина намагався осягнути і створити порядок, красу і досконалість” (Г.Вейль) Симетрія («пропорційність») - відповідність, незмінність (інваріантність), що виявляється за будь-яких перетвореннях. Так, наприклад, сферична симетрія тіла означає, що вид тіла не зміниться, якщо його обертати у просторі на довільні кути, зберігаючи одну точку на місці. «Вітрувіанська людина» Ленардо Да Вінчі (1490, Венеція)

Cлайд 3

СИМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ Точки А і А1 називаються симетричними щодо точки О (центр симетрії), якщо О – середина відрізка АА1. Точка О вважається симетричною самої собі. А А1

Cлайд 4

СИМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ Точки А і А1 називаються симетричними щодо прямої (вісь симетрії), якщо пряма проходить через середину відрізка АА1 і перпендикулярна цьому відрізку. Кожна точка пряма вважається симетричною самої собі. А1

Cлайд 5

СИМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ Точки А і А1 називаються симетричними щодо площини (площина симетрії), якщо ця площина проходить через середину відрізка АА1 і перпендикулярна цьому відрізку. Кожна точка площини вважається симетричною самій собі

Cлайд 6

СИМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ Точка (пряма, площина) називається центром (віссю, площиною) симетрії фігури, якщо кожна точка фігури симетрична щодо неї певній точці тієї ж фігури. Якщо фігура має центр (вісь, площину) симетрії, то кажуть, що вона має центральну (осьову, дзеркальну) симетрію.

Cлайд 7

ПРИКЛАДИ СИМЕТРІЇ ПЛОСЬКИХ ФІГУР Паралелограм має лише центральну симетрію. Його центр симетрії – точка перетину діагоналей. Рівнобока трапеція має тільки осьову симетрію. Її вісь симетрії – перпендикуляр, проведений через середини основ трапеції Ромб має і центральну, і осьову симетрію. Його вісь симетрії – кожна з його діагоналей; центр симетрії – точка їхнього перетину

Cлайд 8

ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАНИКИ - 5 ПЛАТОНОВИХ ТІЛ Мешканці навіть найвіддаленішої галактики не можуть грати в кістки, що мають форму невідомого нам правильного опуклого багатогранника. М. Гарднер Випуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані – рівні правильні багатокутники і в кожній його вершині сходиться те саме число ребер. Також усі ребра правильного багатокутника рівні, як і всі двогранні кути, що містять дві грані із загальним ребром. Правильного багатогранника, гранями якого є n-кутники при n> або = 6, немає!

Cлайд 9

ПРАВИЛЬНИЙ ТЕТРАЕДЕР Складено чотири рівносторонні трикутники. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників. Сума плоских кутів за кожної вершини дорівнює 180°. Елементи симетрії: Тетраедр не має центру симетрії, але має 3 осі симетрії та 6 площин симетрії. S повний Обсяг Висота Вершин – 4 Граней – 6 Ребер – 4

Cлайд 10

КУБ Складено із шести квадратів. Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів. Сума плоских кутів за кожної вершини дорівнює 270°. 6 граней, 8 вершин і 12 ребер Елементи симетрії: Куб має центр симетрії - центр куба, 9 осей та площин симетрії R опис. окр. S повний r впис. окр

Cлайд 11

ПРАВИЛЬНИЙ ОКТАЕДР Складено із восьми рівносторонніх трикутників. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 240 °. Елементи симетрії: Октаедр має центр симетрії - центр октаедра, 9 осей симетрії та 9 площин симетрії 8 граней 6 вершин 12 ребер

Правильні та напівправильні багатогранники

У своїй діяльності людина скрізь стикається з необхідністю вивчати форму, розміри, взаємне розташування просторових фігур. Важливий клас тіл утворюють багатогранники – тіла, межа яких складається із багатокутників. У неосяжному океані багатогранних форм виділяються своєю досконалістю п'ять правильних багатогранників, або Платонових тіл.

Багатогранник - геометричне тіло, обмежене з усіх боків плоскими багатокутниками, які називаються гранями.

Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а кінці ребер – вершинами багатогранника. За кількістю граней розрізняють чотиригранники, п'ятигранники тощо.

Багатогранник називається опуклим, якщо він весь розташований по одну сторону від площини кожної його граней. Випуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані – правильні однакові багатокутники та всі багатогранні кути при вершинах рівні.

Тетраедр (від грецької tetra – чотири та hedra - Грань) - правильний багатогранник, складений із 4 рівносторонніх трикутників.

Кристали білого фосфоруутворені молекулами Р4, така молекула має вигляд тетраедра. Молекули дзеркальних ізомерів молочної кислоти також є тетраедрами. Кристалічні грати метану мають форму тетраедра. Метан горить безбарвним полум'ям. З повітрям утворює вибухонебезпечні суміші. Використовується як паливо.

Сфалерит - сульфід цинку (ZnS).Кристали цього мінералу мають форму тетраедрів, рідше – ромбододекаедрів.

Куб (гексаедр)

Кожна із 8 вершин куба є вершиною 3 квадратів.

У куба 12 ребер, що мають рівну довжину.

Центром симетріїкуба є точка перетину його діагоналей. Через центр симетрії проходять 9 осей симетрії. Вісь симетрії куба може проходити через середини паралельних ребер, не належать однієї грані, або через точку перетину діагоналей протилежних граней.

Куб передає форму кристалів кухонної солі NaCl.

Форму куба мають кристалічні ґрати багатьох металів ( Li , Na , Cr , Pb , Al , Au , та інші)

Октаедр (від грецького okto – вісім і hedra – грань) - правильний багатогранник, складений із 8 рівносторонніх трикутників.

Форму октаедра має монокристал алюмокалієвих кварців, формула якого K (AL (SO 4)2) * 12 H 2 O . Вони застосовуються для протруювання тканин, вироблення шкіри.

Одним із станів полімерної молекули вуглецю, поряд з графітом, є алмаз Алмази зазвичай мають октаедр як форму огранювання.

Алмаз (від грецької Adamas - Незламний) - безбарвний або забарвлений кристал з сильним блиском у вигляді октаедра.

Кристали алмазу є гігантськими полімерними молекулами і зазвичай мають форму огранювання октаедра, ромбододекаедра, рідше - куба або тетраедра.

Додекаедр (від грецького dodeka – дванадцять і hedra – грань) це правильний багатогранник, складений із дванадцяти рівносторонніх п'ятикутників. Додекаедр має 20 вершин та 30 ребер

Вірус поліомієлітумає форму додекаедр. Він може жити і розмножуватися лише у клітинах людини та приматів.

На мікроскопічному рівні, додекаедр та ікосаедр є відносними параметрами ДНК. Можна побачити також, що молекула ДНК є куб, що обертається. При повороті куба послідовно на 72 градуси за певною моделлю, виходить ікосаедр, який, у свою чергу, становить пару додекаедр. Таким чином, подвійна нитка спіралі ДНК побудована за принципом двосторонньої відповідності: за ікосаедром слідує додекаедр, потім знову ікосаедр, і так далі. Це обертання через куб створює молекулу ДНК.

У книзі Дана Уінтера "Математика Серця" (Dan Winter, Heartmath) показано, що молекула ДНК складена з взаємовідносин двоїстості додекаедрів та ікосаедрів.

Ікосаедр - правильний опуклий багатогранник, що складається з 20 правильних трикутників. У ікосаедра 30 ребер.

В одному зі своїх діалогів Платон пов'язав правильні багатогранники із 4-ма стихіями. Тетраедру відповідав вогонь, кубу - земля, октаедру - повітря, ікосаедру - вода. Додекаедру відповідала п'ята стихія – ефір.

Правильних багатокутників дуже багато: при кожному n =>3 є правильний n - Косинець (причому тільки один, з точністю до подоби). Правильних багатогранників лише п'ять.

Мабуть, найважливіше властивість опуклих багатогранників виявили Рене Декартом близько 1620г. ту ж формулу перевідкрив Леонард Ейлер, коли займався описом типів опуклих багатогранників залежно від їх вершин.

Нехай В – число вершин опуклого багатогранника, Р – число його ребер та Г – число граней. Тоді правильна рівність В-Р+Г=2.

Це число називається ейлерової характеристикою багатогранника.

Але п'яти правильних тілах історія багатогранників не зупинилася. Після правильними тілами Платона відкрили напівправильні тіла Архімеда.

Архімедовими тілами називаються напівправильні, однорідні опуклі багатогранники, тобто опуклі багатогранники, всі багатогранні кути яких рівні, а грані – правильні багатогранники кількох типів (цим вони відрізняються від платонових тіл, грані яких – правильні багатокутники одного типу). Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду. Теорією цих тіл займався також Йоган Кеплер.

Найпростішим прикладом архімедового багатогранника може бути архімедова призма, т. е. правильна n-вугільна призма з квадратними бічними гранями.

Інший приклад - так звана п-вугільна архімедова антипризму. Вона може бути отримана, якщо одна з підстав правильної n-вугільної призми (n>4) повернути навколо осі призми на кут - і потім з'єднати відрізками кожну вершину цієї основи з найближчими вершинами іншої основи; при цьому висота призми має бути підібрана так, щоб ці відрізки виявилися рівними стороні основи (інакше кажучи, бічні грані антипризми мають бути правильними трикутниками). Змінюючи n, ми отримаємо дві нескінченні серії архімедових багатогранників-призм та антипризм.

Найпростіші фігури виходять із правильних багатогранників шляхом «усічення», що полягає у відсіканні площинами кутів багатогранника.

Якщо зрізати кути тетраедра площинами, кожна з яких відсікає третину його ребер, що виходять з однієї вершини, то отримаємо усічені тетраедр, що має вісім граней. З них чотири – правильні шестикутники та чотири – правильні трикутники. У кожній вершині цього багатогранника сходяться три грані.

Звернемо увагу на те, що поверхню футбольного м'яча виготовляють у формі поверхні усіченого ікосаедра

Другий спосіб отримання напівправильних багатогранників полягає у відсіканні частин куба площиною, що проходить через середини його ребер, що виходять з однієї вершини. В результаті отримуємо напівправильний багатогранник, який називається кубооктаедр. Його гранями є шість квадратів, як у куба, і вісім правильних трикутників, як у октаедра.

Третій спосіб полягає у поєднання першого та другого методу. Відсікаючі площини провести через середини ребер, що виходять з однієї вершини та операція «усічення».

Цікаво, що у другій половині XX в. було виявлено ще одне тіло Архімеда – псевдоромбокубооктаедр, яке не може бути отримане шляхом однотипних усічень тіла Платона і тому протягом 2000 років залишалося непоміченим.

Наприкінці 50-х - початку 60-х років XX століття кілька математиків практично одночасно незалежно один від одного вказали на існування псевдоромбокубооктаедра. Псевдоромбокубооктаедр складається з граней куба і октаедра, до яких додано ще 12 квадратів.

Дуже оригінальна космологічна гіпотеза німецького астронома Йоганна Кеплера, у якій він пов'язав деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників. Між кожною парою "небесних сфер", за якими, згідно з цією гіпотезою, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описано октаедр. Цей октаедр вписаний у сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр.

Додекаедр вписаний у сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описано сферу Юпітера, вписану в куб. Нарешті навколо куба описана сфера Сатурна.Ця модель виглядала свого часу досить правдоподібно. На даний момент ця теорія повністю відкинута.

Зоряний октаедр.Він був відкритий Леонардо Да Вінчі, потім майже через 100 років перевідкритий І.Кеплером, і названий ним "Stella octangula" – зірка восьмикутна. Звідси октаедр має і другу назву "stella octangula Кеплера". У октаедра є лише одна зірчаста форма. Її можна розглядати як з'єднання двох тетраедрів.

Великий зірчастий додекаедр належить до сімейства тіл Кеплера-Пуансо, тобто правильних багатогранників. Грані великого зірчастого додекаедра – пентаграми, як і в малого зірчастого додекаедра. У кожної вершини поєднуються три грані. Вершини великого зірчастого додекаедра збігаються з вершинами описаного додекаедра. Великий зірчастий додекаедр був вперше описаний Кеплером у 1619 році.

Кеплер не здогадався, що в отриманої ним фігури є двійник. Багатогранник, який називається "великий додекаедр" - побудував французький геометр Луї Пуансон через двісті років після кеплерівських зірчастих фігур.

Зірчастий ікосаедр. Ікосаедр має двадцять граней. Якщо кожну з них продовжити необмежено, то тіло буде оточене великою різноманітністю відсіків – частин простору, обмежених площинами граней. Всі зірчасті форми ікосаедра можна отримати додаванням до вихідного тіла таких відсіків. Крім самого ікосаедра, продовження його граней відокремлюють від простору 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 відсіків десяти різних форм та розмірів. Великий ікосаедр (див. рис) складається з усіх цих шматків, за винятком останніх шістдесяти.

Ікосододекаедр має 32 грані з яких 12 є правильними п'ятикутними гранями, а решта 20 – правильні трикутники.

Правильні багатогранники протягом усієї історії людства не переставали захоплювати допитливі уми симетрією, мудрістю та досконалістю своїх форм.

Назад Вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

ознайомити учнів із поняттям правильного багатогранника та з п'ятьма типами правильних багатогранників,
сприяти формуванню навичок використання комп'ютерних технологій щодо нового матеріалу
сприяти розвитку самостійної діяльності, вмінню порівнювати, узагальнювати.

Оснащення уроку:

Мультимедійний проектор, екран, комп'ютери
Презентація «Правильні багатогранники»
Моделі правильних багатогранників
Картки – завдання «Завдання по готовим кресленням» – Додаток 1
Таблиця «Правильні багатогранники»
Роздатковий матеріал «Кросворд» – Додаток 2

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент(5 хв.)

Цільова установка уроку (Повідомлення теми, цілі уроку та порядку роботи)
Розділ про правильні багатогранники носить описовий характер, на його вивчення приділяється один урок. Матеріал про правильні багатогранники суттєво доповнює та логічно завершує розділ «Многогранники». Фактично тут продовжується класифікація багатогранників; з опуклих багатогранників виділяються правильні.

2. Вивчення нового матеріалу(15 хв.)

Вчителю необхідно організувати роботу так, щоб нове поняття «правильний багатогранник» формувалося на основі уявлень, що вже склалися, які навчаються про правильні призми, піраміди і правильні багатокутники.
Існування лише п'яти видів правильних багатогранників повідомляється без доказів. Доказ цієї теореми можна розглянути на заняттях факультативного курсу.

Презентація «Правильні багатогранники»

Презентація підготовлена на тему "Правильні багатогранники" для учнів 10-11 класів загальноосвітніх шкіл та учнів професійно-технічних училищ. У матеріалі пропонується історична довідка про правильні багатогранники, їх особливості, властивості. Наводяться приклади з навколишнього світу, де можна зустріти багатогранники. Презентацію можна використовувати під час уроків геометрії, елективних курсах, і навіть на позакласних заходах з математики.

Використання презентації на уроці дозволяє економити час, зробити вивчення матеріалу цікавішим, яскравішим, незвичайнішим.

Слайди 2, 3– Вводиться визначення правильного багатогранника та здійснюється самоконтроль учнями засвоєння визначення.
«Правильних багатогранників зухвало мало, –написав колись Л.Керролл, - Але цей дуже скромний за чисельністю загін зумів пробратися в глибини різних наук ».

Слайди 4-9– Повідомляється про існування лише п'яти видів правильних багатогранників і для кожного з багатогранників представлено його малюнок, об'ємне зображення, розгортання поверхні та основні властивості.
З давніх часів багатогранники привертають увагу людей своєю красою, досконалістю та гармонією.

Слайд 10- Історична довідка - відомості з історії про Платона і правильні багатогранники.

Слайд 11– Елементи правильних багатогранників, залежність між елементами. Теорема Ейлер.

Слайд15- Леонард Ейлер

Особливий інтерес до правильних багатогранників пов'язаний із красою та досконалістю їх форм. Вони часто зустрічаються у природі.

Слайди 12, 13– Правильні багатогранники у природі, зокрема, у кристалографії.

Слайд 14– Висновок та домашнє завдання
Після вивчення нового матеріалу здійснюється перевірка засвоєння матеріалу з використанням каркасних та площинних моделей багатогранників та таблиці «Правильні багатогранники». Після чого учні приступають до вирішення завдань за готовими кресленнями.

3. Розв'язання задач(17 хв.) – Додаток 1

№1. Знайдіть висоту правильного тетраедра з ребром 10 див.

Дано: ABCД - правильний тетраедр,
AВ = 10 см

Знайти: висоту тетраедра

Рішення.

1) AF – медіана ΔABС, отже ВF = ______

2) З ΔABF за теоремою _______ знайдемо АF

AF 2 = AB 2 - BF 2

3) Про поділяє відрізок AF щодо 2:1, тому АТ = _____________________

4) З ΔADO за теоремою Піфагора знайдемо DO

DO 2 = ____________
DO = ____________

Відповідь: ______см

№2. Розв'яжіть задачу, використовуючи план розв'язання

Кристал має форму октаедра, що складається з двох правильних пірамід із загальною основою, ребро основи піраміди 6 см. Висота октаедра 14 см. Знайдіть площу бічної поверхні кристала.

Рішення.

1) Sбок = 2 Sпір = p ∙ SK (де SK – апофема, p – напівпериметр ABCD)

2) Знаходимо ОК _________________________

3) Знаходимо SO ________________________
______________________________________

4) Знаходимо SK ________________________
______________________________________

5) Обчислюємо Sбік ______________________
______________________________________

№3. Доведіть, що кінці двох непаралельних діагоналей протилежних граней куба є вершинами тетраедра.

4. Додаткове завдання.

Кросворд (робота в парах) Додаток 2
Залежно від рівня підготовленості класу чи групи учнів можна запропонувати їм додаткове завданняу вигляді кросворду. Якщо клас чи група мають низькі математичні здібності, то кросворд можна запропонувати рішення наступному уроці як повторення раніше вивченого матеріалу.

5. Підсумки уроку(5 хв.)

Підсумок уроку передбачає обговорення з учнями наприкінці уроку як успішності реалізації поставлених цілей, а й що сподобалося (не сподобалося) і чому, що особисто йому було корисним, що йому хотілося повторити, що змінити при подальшої роботі.

6. Домашнє завдання(3 хв.)

Зробити розгортки поверхонь правильних багатогранників (правильні тетраедр, куб, октаедр).
Відповісти на питання №№ 30, 31 стор. 243 , Погорєлов А. В. «Геометрія 10-11»
Розв'язати задачі №57 стор. 249, №70 стор.248

Домашнє завдання включає рішення завдань і побудова розгорток і моделей правильних багатогранників. Учні самі обирають, які з розглянутих багатогранників вони виконуватимуть (можна «розбити» клас або групу на п'ять груп за кількістю типів правильних багатогранників і кожній групі запропонувати виготовлення лише одного з правильних багатогранників).

Багатогранник поверхня, складена з багатокутників і обмежують деяке геометричне тіло. Багатогранники бувають опуклими та не опуклими багатокутників Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований по одну сторону площини кожного багатокутника на його поверхні

Октаедр Октаедр (грец. οκτάεδρον, від грец. οκτώ, «вісім» і грец.έδρα «основа») один з п'яти опуклих правильних багатогранників, так званих Платонових тел.греч. правильних багатогранників Платонових Октаедр має 8 трикутних граней, 12 ребер, 6 вершин, у кожній його вершині сходяться 4 ребра.

Ікосаедр Ікосаедр (від грец. εικοσάς двадцять; -εδρον грань, обличчя, основа) правильний опуклий багатогранник, двадцятигранник, одне з Платонових тіл. Кожна з 20 граней є рівностороннім трикутником. Число ребер дорівнює 30, число вершин 12. Ікосаедр має 59 зірчастих форм.

Додекаедр Додекаедр (від грец. δώδεκα дванадцять і εδρον грань), дванадцятигранник правильний багатогранник, складений із дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній із 20 вершин дорівнює 324°.

Зміст: Мета пректа Мета пректа Мета пректа Мета пректу Термін Багатогранники Термін Багатогранники Термін Багатогранники Термін Багатогранники Історія Історія Платон Платон Платон Платонові тіла Платонові тіла Платонові тіла Евклід Евклід Евклід Архімед Архімедов Кеплер Іоганн Кеплер Іоганн Кеплер Космологічна гіпотеза Кеплера Космологічна гіпотеза Кеплера Космологічна гіпотеза Кеплера Космологічна гіпотеза куб) Октаедр Октаедр Октаедр Приватний випадок Приватний випадок Приватний випадок Приватний випадок Розгортки правильних багатогранників Розгортки правильних багатогранників Розгортки правильних багатогранників Розгортки правильних багатогранників Теорема Теорема Теорема Таблиця хар-к Таблиця хар-к Таблиця хар-к Напівправильні багатогранники Напівправильні багатогранники Напівправильні багатогранники природі Історична довідка Цікаві факти Цікаві факти Цікаві факти Цікаві факти

Багатогранник називається правильним, якщо його межі – рівні між собою правильні багатокутники, з кожної його вершини виходить однакове число ребер і всі двогранні кути рівні. Багатогранник називається правильним, якщо його межі – рівні між собою правильні багатокутники, з кожної його вершини виходить однакове число ребер і всі двогранні кути рівні.

Історія правильних багатогранників Їх вивчали вчені, ювеліри, священики, архітектори. Цим багатогранникам навіть приписували магічні властивості. Давньогрецький вчений і філософ Платон (IV–V ст. до н. е.) вважав, що ці тіла уособлюють сутність природи. У своєму діалозі «Тімей» Платон каже, що атом вогню має вигляд тетраедра, землі – гексаедра (куба), повітря – октаедра, води – ікосаедра. У цій відповідності не знайшлося місця лише додекаедру і Платон припустив існування ще однієї, п'ятої сутності – ефіру, атоми якого якраз і мають форму додекаедру. Учні Платона продовжили його у вивченні перелічених тіл. Тому ці багатогранники називають платоновими тілами. Їх вивчали вчені, ювеліри, священики, архітектори. Цим багатогранникам навіть приписували магічні властивості. Давньогрецький вчений і філософ Платон (IV–V ст. до н. е.) вважав, що ці тіла уособлюють сутність природи. У своєму діалозі «Тімей» Платон каже, що атом вогню має вигляд тетраедра, землі – гексаедра (куба), повітря – октаедра, води – ікосаедра. У цій відповідності не знайшлося місця лише додекаедру і Платон припустив існування ще однієї, п'ятої сутності – ефіру, атоми якого якраз і мають форму додекаедру. Учні Платона продовжили його у вивченні перелічених тіл. Тому ці багатогранники називають платоновими тілами.

Платон близько 429 - 347 рр. до н.е. Платоновими тілами називаються правильні однорідні опуклі багатогранники, тобто опуклі багатогранники, усі грані та кути яких рівні, причому грані – правильні багатокутники. Платонові тіла – тривимірний аналог плоских правильних багатокутників. Однак між двовимірним і тривимірним випадками є важлива відмінність: існує безліч різних правильних багатокутників, але лише п'ять різних правильних багатогранників. Доказ цього факту відомий вже понад дві тисячі років; цим доказом та вивченням п'яти правильних тіл завершуються "Початки" Евкліда.

«Почала Евкліда. «…у науці немає царського шляху» близько 365 – 300 рр. до н. Головна праця Евкліда – «Початки» (в оригіналі «Стохейа». «Початки» складаються з 13 книг, пізніше до них були додані ще 2. Перші шість книг присвячені планіметрії. Книги VII – X містять теорію чисел, XI, XII та XIII книги «Початок» присвячені стереометрії. З постулатів Евкліда видно, що він представляв простір як безмежний, ізотропний і тривимірний. платонові тіла.

Архімед Сіракузький близько 287 – 212 рр. до н. Математик, фізик та інженер Архімед Сіракузький залишив по собі чимало винаходів, тринадцять творів (таких як «Про сферу та циліндр», «Вимір кола», «Рівновагу площин», «Стомахіон», «Правильний семикутник та інші). Архімед, як геометр визначив поверхню кулі та її обсяг, досліджував параболоїди і гіперболоїди, вивчав «архімедову спіраль», визначив число «пі», як між 3,141 і 3,142. Внесок Архімеда в теорію багатогранників - опис 13 напівправильних опуклих однорідних багатогранників (архімедових тіл).

Архімедові тіла Багато архімедових тіл можна розбити на кілька груп. Першу з них становитимуть п'ять багатогранників, які виходять із платонових тіл внаслідок їх усічення. Так можуть бути отримані п'ять архімедових тіл: усічений тетраедр, усічений гексаедр (куб), усічений октаедр, усічений додекаедр та усічений ікосаедр. Іншу групу становлять лише два тіла, іменованих також квазіправильними багатогранниками. Ці два тіла носять назви:кубооктаедр та ікосододекаедр на відміну від великого ромбокубооктаедра та великого ромбоїкосододекаедра. Два наступні багатогранники називаються ромбокубооктаедром і ромбоїкосододекаедром. Іноді їх називають також «малим ромбокубооктаедром» і «малим ромбоїкосододекаедром» на відміну від великого ромбокубооктаедра та великого ромбоїкосододекаедра. Нарешті існують дві так звані «кучеряві» модифікації одна для куба, інша для додекаедра. Для кожної з них характерно дещо повернене положення граней, що дає можливість побудувати два різні варіанти одного і того ж «курносого» багатогранника (кожен з них є як би дзеркальним відображенням іншого).

Йоган Кеплер 1571 - 1630 рр.. Німецький астроном та математик. Один із творців сучасної астрономії. Німецький астроном та математик. Один із творців сучасної астрономії. Вклад Кеплера в теорію багатогранника - це, по-перше, відновлення математичного змісту втраченого трактату Архімеда про напівправильні опуклі однорідні багатогранники. Вклад Кеплера в теорію багатогранника - це, по-перше, відновлення математичного змісту втраченого трактату Архімеда про напівправильні опуклі однорідні багатогранники. Ще більш істотною була пропозиція Кеплера розглядати невипуклі багатогранники з зірчастими гранями, подібними до пентаграми і відкриття двох правильних невипуклих однорідних багатогранників - малого зірчастого додекаедра і великого зірчастого додекаедра. Ще більш істотною була пропозиція Кеплера розглядати невипуклі багатогранники з зірчастими гранями, подібними до пентаграми і відкриття двох правильних невипуклих однорідних багатогранників - малого зірчастого додекаедра і великого зірчастого додекаедра.

Космологічна гіпотеза Кеплера Кеплер спробував пов'язати з властивостями правильних багатогранників деякі властивості Сонячної системи. Він припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників (Платонових тіл). Між кожною парою "небесних сфер", за якими, згідно з цією гіпотезою, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описано октаедр. Цей октаедр вписаний у сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний у сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описано сферу Юпітера, вписану в куб. Нарешті, навколо куба описана сфера Сатурна.

Тетраедр Тетраедр (tetra – чотири, hedra – грань). Правильний тетраедр – правильний чотиригранник, тобто тетраедр з рівними ребрами, є правильним багатогранником, усі грані якого – правильні трикутники і з кожної вершини якого виходить рівно три ребра Тетраедр (tetra – чотири, hedra – грань). Правильний тетраедр – правильний чотиригранник, тобто тетраедр з рівними ребрами, являє собою правильний багатогранник, всі грані якого – правильні трикутники і з кожної вершини якого виходить рівно три ребра. У нього 4 вершини, 4 грані, 6 ребер. ,6 ребер Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 градусів Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 градусів

Ікосаедр (складається з 20 трикутників) (складається з 20 трикутників) У кожній вершині ікосаедра У кожній вершині ікосаедра сходяться п'ять граней. сходяться п'ять граней. Існує правильний багатогранник, у якого всі грані – правильні трикутники, і з кожної вершини виходить 5 ребер. Цей багатогранник має 20 граней, 30 ребер, 12 вершин і називається ікосаедром (icosi – двадцять). Існує правильний багатогранник, у якого всі грані – правильні трикутники, і з кожної вершини виходить 5 ребер. Цей багатогранник має 20 граней, 30 ребер, 12 вершин і називається ікосаедром (icosi – двадцять). Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300 градусів. Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300 градусів.

Існує правильний багатогранник, у якого всі грані правильні п'ятикутники і з кожної вершини виходить 3 ребра. Цей багатогранник має 12 граней, 30 ребер та 20 вершин і називається додекаедром (dodeka – дванадцять). Існує правильний багатогранник, у якого всі грані правильні п'ятикутники та з кожної вершини виходить 3 ребра. Цей багатогранник має 12 граней, 30 ребер та 20 вершин і називається додекаедром (dodeka – дванадцять). Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 324 градуси Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 324 градуси

Гексаедр (куб) Гексаедр (куб, hexa - шість). Гексаедр – правильний багатогранник, усі грані якого – квадрати, і з кожної вершини виходить три ребра. Гексаедр (куб, hexa – шість). Гексаедр – правильний багатогранник, усі грані якого – квадрати, і з кожної вершини виходить три ребра. У нього 6 граней, 8 вершин, 12 ребер У нього 6 граней, 8 вершин, 12 ребер Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 270 градусів

Октаедр Октаедр. Це правильний багатогранник, усі грані якого – правильні трикутники і до кожної вершини прилягають чотири грані Октаедр. Це правильний багатогранник, всі грані якого – правильні трикутники і до кожної вершини прилягають чотири грані. У нього 8 граней, 12 ребер, 6 вершин.

Характеристики багатогранників. Назва:Кількість ребер при вершині Число сторін грані Число граней Число ребер Число вершин Тетраедр33464 Куб Октаедр Додекаедр Ікосаедр

Напівправильні багатогранники Курносий куб. Цей багатогранник можна вписати в куб таким чином, що площини шести квадратних його граней збігатимуться з площинами граней куба, причому ці квадратні грані кирпатого куба виявляться як би злегка повернутими по відношенню до відповідних граней куба. Курносий куб. Цей багатогранник можна вписати в куб таким чином, що площини шести квадратних його граней збігатимуться з площинами граней куба, причому ці квадратні грані кирпатого куба виявляться як би злегка повернутими по відношенню до відповідних граней куба. Ромбоїкосододекаедр. Ця модель належить до найбільш привабливих серед усіх інших моделей архімедових тіл. Гранями є трикутники, квадрати та п'ятикутники. Ромбоїкосододекаедр. Ця модель належить до найбільш привабливих серед усіх інших моделей архімедових тіл. Гранями є трикутники, квадрати та п'ятикутники. Ромбоусічений кубооктаедр. Цей багатогранник, відомий також під назвою усіченого кубооктаедра, гранями має квадрати, шестикутники та восьмикутники. Ромбоусічений кубооктаедр. Цей багатогранник, відомий також під назвою зрізаного кубооктаедра, гранями має квадрати, шестикутники та восьмикутники. Курносий додекаедр – це останній із сімейства опуклих однорідних багатогранників. Гранями є трикутники та п'ятикутники. Курносий додекаедр – це останній із сімейства опуклих однорідних багатогранників. Гранями є трикутники та п'ятикутники.

Ромбододекаедр. (пролуправильні тіла) Він утворений допомогою семи кубів, що утворюють просторовий "хрест" та додекаедра.

Знаходження в природі У кристалічних тілах частинки розташовуються в строгому порядку, утворюючи просторові структури, що періодично повторюються, у всьому обсязі тіла. Для наочного уявлення таких структур використовуються просторові кристалічні решітки, у вузлах яких розташовуються центри атомів чи молекул даної речовини. Найчастіше кристалічні грати будуються з іонів (позитивно і негативно заряджених) атомів, що входять до складу молекули даної речовини. Наприклад, грати кухонної солі містить іони Na+ і Cl–, не попарно об'єднані в молекули NaCl. Такі кристали називаються іонними. У кристалічних тілах частинки розташовуються в строгому порядку, утворюючи просторові структури, що періодично повторюються, у всьому обсязі тіла. Для наочного уявлення таких структур використовуються просторові кристалічні решітки, у вузлах яких розташовуються центри атомів чи молекул даної речовини. Найчастіше кристалічні грати будуються з іонів (позитивно і негативно заряджених) атомів, які входять до складу молекули даної речовини. Наприклад, грати кухонної солі містить іони Na+ і Cl–, не попарно об'єднані в молекули NaCl. Такі кристали називаються іонними.

Кристали Кристалічні грати металів часто мають форму шестигранної призми (цинк, магній), гранецентрованого куба (мідь, золото) або об'ємно центрованого куба (залізо). Кристалічні грати металів часто мають форму шестигранної призми (цинк, магній), гранецентрованого куба (мідь, золото) або об'ємно центрованого куба (залізо). Кристалічні тіла можуть бути монокристалами та полікристалами. Полікристалічні тіла складаються з багатьох хаотично орієнтованих маленьких кристаликів, що зрослися між собою, які називаються кристаллітами. Великі монокристали рідко зустрічаються в природі та техніці. Найчастіше кристалічні тверді тіла, у тому числі й ті, що виходять штучно, є полікристалами. Кристалічні тіла можуть бути монокристалами та полікристалами. Полікристалічні тіла складаються з багатьох хаотично орієнтованих маленьких кристаликів, що зрослися між собою, які називаються кристаллітами. Великі монокристали рідко зустрічаються в природі та техніці. Найчастіше кристалічні тверді тіла, у тому числі й ті, які виходять штучно, є полікристалами. Прості кристалічні грати: 1 – прості кубічні грати; 2 – гранецентровані кубічні грати; 3 – об'ємноцентровані кубічні грати; 4 – гексагональні грати.

Кристали – багатогранники Кальцій. При ударах кристали кальциту розколюються правильні фігурки, кожна грань яких має форму паралелограма. Кальцій утворює різноманітні кристали від пластичної до витягнуто-призматичної форми. Кальцій. При ударах кристали кальциту розколюються правильні фігурки, кожна грань яких має форму паралелограма. Кальцій утворює різноманітні кристали від пластичної до витягнуто-призматичної форми. Апатит. Вони утворюють кристали у вигляді прямокутної призми. Апатит. Вони утворюють кристали у вигляді прямокутної призми. Берилій. Зазвичай зустрічається у вигляді стовпчастих шестигранних кристалів. Берилій. Зазвичай зустрічається у вигляді стовпчастих шестигранних кристалів.

Історія правильних багатогранників сягає глибокої давнини. Починаючи з 7 століття до нашої ери в Стародавній Греції створюються філософські школи, в яких відбувається поступовий перехід від практичної до філософської геометрії. Велике значення в цих школах набувають міркування, за допомогою яких вдалося набувати нових геометричних властивостей. Історична довідка Однією з перших та найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Відмінним знаком піфагорійців була пентаграма, мовою математики-це правильний непуклий або зірчастий п'ятикутник. Пентаграмі надавалася здатність захищати людину від злих духів.

Земля земля гексаедр гексаедр (куб) (куб) всесвіт всесвітДодекаедр Піфагорійці, а потім Платон вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря і води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії та Всесвіту. Відповідно до цієї думки, атоми основних елементів повинні мати форму різних Платонових тіл:

Художники про правильні багатогранники В епоху Відродження великий інтерес до форм правильних багатогранників виявляли скульптори, архітектори, МИТЦІ. Леонардо да Вінчі захоплювався теорією багатогранників і часто зображував їх у своїх полотнах. Він проілюстрував зображеннями правильних і напівправильних багатогранників книгу свого друга, ченця Луки Пачолі «Про божественну пропорцію». Леонардо да Вінчі захоплювався теорією багатогранників і часто зображував їх у своїх полотнах. Він проілюстрував зображеннями правильних і напівправильних багатогранників книгу свого друга, ченця Луки Пачолі «Про божественну пропорцію»

На картині художника Сальвадора Далі «Таємна Вечеря» Христос зі своїми учнями зображений на тлі величезного прозорого додекаедру. Форму додекаедра, на думку древніх, мала ВСЕСВІТ, тобто. вони вважали, що живемо всередині склепіння, має форму поверхні правильного додекаэдра.

Єгипетські піраміди Серед єгипетських пірамід особливе місце посідає піраміда фараона Хеопса. Довжина сторони її основи L = 233,16 м; висота Н = 146,6; 148,2 м. Спочатку висота оцінювалася не точно. Це з осадкою швів, деформацією блоків, передбачуваної частковою розбиранням вершини від S 66 до 1010 м. Серед єгипетських пірамід особливе місце займає піраміда фараона Хеопса. Довжина сторони її основи L = 233,16 м; висота Н = 146,6; 148,2 м. Спочатку висота оцінювалася не точно. Це пов'язано з осіданням швів, деформацією блоків, передбачуваною частковою розбиранням вершини від S 66 до 1010 м.

Кут нахилу граней =5151. Вперше він був виміряний англійським полковником Г. Вайзовим у 1837 р tg = 1,27306 = vd = 1, Кут нахилу граней = 5151. Вперше він був виміряний англійським полковником Г. Вайзовим у 1837 р tg = 1,27306 = vd = 1,27202.

Царська гробниця Велика піраміда була збудована як гробниця Хуфу, відомого грекам як Хеопс. Він був одним із фараонів, або царів стародавнього Єгипту, а його гробниця була завершена в 2580 до н.е. Пізніше в Гізі було збудовано ще дві піраміди, для сина та онука Хуфу, а також менші за розмірами піраміди для їхніх цариць. Піраміда Хуфу, найдальша на малюнку, є найбільшою. Піраміда його сина знаходиться в середині і виглядає вище, тому що стоїть на вищому місці.

У ІІІ столітті до н.е. був побудований маяк, щоб кораблі могли благополучно пройти рифи на шляху до олександрійської бухти. Вночі їм допомагало у цьому відображення мов полум'я, а вдень - стовп диму. Це був перший у світі маяк, і простояв він 1500 років. Фароський маяк складався з трьох мармурових веж, що стояли на підставі з масивних кам'яних блоків. Перша вежа була прямокутною, у ній знаходилися кімнати, в яких жили робітники та солдати. Над цією вежею розташовувалась менша, восьмикутна вежа зі спіральним пандусом, що веде до верхньої вежі. Верхня вежа формою нагадувала циліндр, у якому горів вогонь, що допомагав кораблям благополучно досягти бухти. На вершині вежі стояла статуя Зевса Спасителя. Загальна висота маяка складала 117 метрів. Олександрійський маяк

Найпростіша тварина Скелет одноклітинного організму феодарії (Circogonia icosahedra) формою нагадує ікосаедр. Скелет одноклітинного організму феодарії (Circogonia icosahedra) формою нагадує ікосаедр. Більшість феодарій живуть на морській глибині і є видобутком коралових рибок. Але найпростіша тварина захищає себе дванадцятьма голками, що виходять із 12 вершин скелета. Він більше схожий на зірчастий багатогранник. Більшість феодарій живуть на морській глибині і є видобутком коралових рибок. Але найпростіша тварина захищає себе дванадцятьма голками, що виходять із 12 вершин скелета. Він більше схожий на зірчастий багатогранник. З усіх багатогранників з тим самим числом граней икосаэдр має максимальний обсяг за найменшої площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск товщі води.

Цікаво Ікосаедр опинився в центрі уваги біологів у їх суперечках щодо форми вірусів. Ікосаедр опинився в центрі уваги біологів у їх суперечках щодо форми вірусів. Вірус може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, спрямовували ними світло під тими самими кутами, як і потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає таку ж тінь - ікосаедр.