Презентация на тему: Математические софизмы. Презентация на тему "математические софизмы" Математические софизмы презентация

Слайд 2

Цель проекта: Значение математических софизмов в развитии логического мышления школьников.

Задачи проекта: Познакомиться с понятием – софизм. Рассмотреть примеры математических софизмов. Провести исследование по школе среди учащихся 6-х, 7-х и 9-х классов. Проанализировать полученные результаты. Используемые методы: Изучение литературы Решение математических задач Сбор и обработка данных с помощью информационных технологий Создание презентации

Слайд 3

Что такое софизм

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Виды математических софизмов: Арифметические софизмы Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Правильно понятая ошибка – это путь к открытию И.П. Павлов.

Слайд 4

Примеры алгебраических софизмов

Пример 1. 1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = 10 000 к. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа. Пример 2 5=6 Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем 5=6 Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

Слайд 5

Примеры геометрических софизмов

Загадочное исчезновение У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рис. 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Вопрос: Куда исчезла 13-я линия? Ответ: 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины. «Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом , противолежащим катету a. Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2, b2 = c2 cos2. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2). Но sin2 + cos2 = 1, и поэтому a2 + b2 = c2. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Ошибки здесь нет. Но формула sin2 + cos2 = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора. N M Рис. 1

Слайд 6

Проведение исследования

Тема исследования «Нахождение ошибки в доказательстве софизма» Метод исследования – эксперимент Участники исследования – учащиеся 6,7,9 классов школы Задача исследования: возможность нахождения ошибки в доказательстве софизма

Слайд 7

Нахождение ошибки в доказательстве софизмов

Алгебраические софизмы Пример 1.1 р. = 10 000 к. Пример 2.5 = 6 Пример 3.2 + 2 = 5 Пример 4.Любое число равно его половине Пример 5.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 6.Любое число = 0 Геометрические софизмы Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин. Пример 3.Два перпендикуляра. Пример 4.«Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Слайд 8

Основные ошибки в софизмах

Деление на 0; неправильные выводы из равенства дробей; неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения; нарушения правил действия с именованными величинами; путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств; проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла; неравносильный переход от одного неравенства к другому; выводы и вычисления по неверно построенным чертежам; ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Слайд 2

Слайд 3

Данная работа открывает перед учащимися уникальную возможность проследить как математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Актуальность Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

Слайд 4

Методы исследования Анкетирование Демонстрация презентаций Анализ и контроль полученных результатов

Слайд 5

Софизм(в переводе с греческого – « мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») – ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизмоснован на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. ? Что такое софизмы?

Слайд 6

Софистика – это искусство ведения спора Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми малыми ошибками. И. Ньютон Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. Б. Паскаль Правильно понятая ошибка-это путь к открытию. И.П.Павлов Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. Л. Эйлер

Слайд 7

Классификация ошибок Интеллектуальные Аффективные Волевые Логические Психологические Терминологические 2 · 2 + 5 =9 2 · (2 + 5) =14

Слайд 8

Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Логические Классификация софизмов по темам математического цикла Е

Слайд 9

Я представляю вашему вниманию классификацию софизмов по разделам математики, которая позволяет на эмоциональном уровне понять и закрепить то или иное математическое правило, что способствует более глубокому пониманию и осмыслению и показывает, что математика – это живая наука.

Слайд 10

Алгебра Упрощение выражений. Единицы измерений Разложение на множители Формулы сокращенного умножения Арифметический квадратный корень Решение неравенств Рациональные выражения Числовые последовательности Равносильные уравнения Логарифмы Тригонометрия Отрицательные и положительные числа 6класс 7класс 8класс 9класс 10класс 5класс

Слайд 11

Геометрия Внешний угол треугольника Параллельные и перпендикулярные прямые Сумма углов треугольника Пропорциональные отрезки Четырехугольники Окружность Решение треугольников Метод координат Треугольник 7класс 8класс 9класс

Слайд 12

Слайд 13

Средний балл Процент допустивших ошибки Процент выполнивших правильно

Слайд 14

Вывод Ценным является то, что в ходе такой работы обогащается культура мышления ученика, общая культура, развивается интеллект. Оценка деятельности ученика и самооценка сближаются на основе тезиса: не то ценно, что ошибок не совершил, а то, что нашел причину ошибки и устранил ее. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Слайд 15

Ахманов А. С. «Логическое учение Аристотеля», Москва - 1960 2. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» -2004 3. Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К. «Ошибки в математических рассуждениях», Москва - 1967 4. Брутян Г. «Паралогизм, софизм и парадокс. Вопросы философии» - 1959 Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы», Москва,Просвещение-2003 6. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. «Математическая шкатулка» Москва, Просвещение - 1988 Список литературы Благодарю за внимание

Посмотреть все слайды

Cлайд 1

Cлайд 2

Немного из истории софизма Термин “софизм” впервые был введён Аристотелем, происходит от древнегреческого слова sophisma - «мастерство, хитрая уловка, выдумка, мнимая мудрость».

Cлайд 3

Примеры софизмов, знаменитых ещё в древности «Что ты не терял, то имеешь; рога ты не терял; значит у тебя есть рога» «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит» «Этот пес твой; он отец; значит, он твой отец» «- Знаете ли вы, о чем я сейчас хочу вас спросить? - Нет. - Неужели вы не знаете, что лгать нехорошо? - Конечно, знаю. - Но именно об этом я и собирался вас спросить, а вы ответили, что не знаете; выходит, вы знаете то, чего вы не знаете»

Cлайд 4

Софизмы существуют уже более двух тысячелетий. Их возникновение обычно связывается с философской деятельностью софистов (Древняя Греция V-IV вв. до н.э.) - платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Самые известные представители направления софистики в Древней Греции - Протагор, Горгий, Продик.

Cлайд 5

Классификация софизмов Лекарства «Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». Вор «Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего». логические алгебраические Единица равна нулю Возьмем уравнение х-а=0, разделим обе части уравнения на (х-а), получаем (х-а)/(х-а)=0/(х-а) и отсюда 1=0. Ошибка: Ошибка в том, что х-а равно нулю, а на ноль делить нельзя.

Cлайд 6

терминологические «Все углы треугольника = π» в смысле «Сумма углов треугольника = π» «сколько пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. 5 + (2*2)) или 14 (т.е. (5 + 2) * 2). . арифметические Один рубль не равен ста копейкам. 1 р.= 100 коп. 10 р.= 1000 коп. Умножим обе части этих верных равенств, получим: 10 р.= 100000 коп., откуда следует: 1 р.= 10000 коп., т.е. 1 р. не равен 100 коп. Ошибка: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Cлайд 7

геометрические «из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра» Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и В D перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Cлайд 8

Чем же полезны софизмы для изучающих физику? Что они могут дать? Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ. Ценно, не то, что ошибок не совершил, а то, что нашел причину ошибки и устранил её.

Cлайд 1

Математические софизмы Презентацию сделала ученица 7 класса Верхеиндырчинской основной школы Фатыхова Аделя

Cлайд 2

Введение История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь произрастали новые софизмы и парадоксы. В истории развития математики софизмы играли существенную роль.

Cлайд 3

Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно очень давно, и можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение.

Cлайд 4

Понятие «Софизм» Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Cлайд 5

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Cлайд 6

Cлайд 7

Экскурс в Историю Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов - платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы.

Cлайд 8

К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.

Cлайд 9

Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства »,в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой - семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

Cлайд 10

Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста (софист, от греч. sophistes - умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец) - представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. С этой же идеей обычно связывают «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины.

Cлайд 11

Алгебраические софизмы. Алгебра - один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Cлайд 12

Итак у меня есть к вам и к себе интересная задачка для разминки ума... ...используя простейшие математические преобразования и формулы всем нам известные со школы, я могу доказать, что, при условии a=b+c "a" расняется "c" ...не верите?! смотрите: a=b+с Умножим обе части на a-b a2-ab=ab+ac-b2-bc Переносим ac в левую часть a2-ab-ac =ab-b2-bc Разложим на множители a(a-b-c)=b(a-b-c) Разделим обе части на a-b-c Получаем: a=b

Cлайд 13

Четыре ученицы – Мария, Нина, Ольга и Поля – участвовали в лыжных соревнованиях и заняли 4 первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа: 1) Ольга заняла 1-е место, Нина – 2-е, 2) Ольга – 2-е, Поля – 3-е, 3) Мария - 2-е, Поля – 4-е. Отвечавшие при этом признали, что одно из высказываний каждого ответа верно, а другое неверно. Какое место заняла каждая из учениц?

Cлайд 14

Решение. На рисунках 1 и 2 точки «верхнего» множества соответствуют именам учениц, а «нижнего» - занятым местам. Сплошные отрезки соответствуют высказываниям первой ученицы, штриховые – второй, штрихпунктирные – третьей. Отрезки, соответствующие ложному высказыванию, будем перечеркивать. Предположим, что Нина заняла второе место. В таком случае (рис. 1) Поля заняла третье и четвертое места, что по условию задачи невозможно. Предположим, что Оля заняла 1-е место (рис. 2), тогда Мария заняла 2-е место, Поля - 3-е место, Нина – 4-е.

Cлайд 15

Заключение. О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Cлайд 16

Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни. Мы поняли, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Cлайд 17

Литература 1. Lietzman W. Wo steckt der Fehler? Mathematische Trugschlüsse und Warnzeichen. – Leipzig? 1952 2. Аменицкий Н. Математические развлечения и любопытные приемы мышления. – М., 1912 3. Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. – М.; Л., 1934 4. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. – Одесса, 1911 5. Брадис В. М., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. – М., 1938 6. Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. – М., 1903 7. Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? – СПб., 1919 8. Лямин А. А. Математические парадоксы и интересные задачи. – М., 1911 9. Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003 10. Обреимов В. И. Математические софизмы. – 2-е изд. – СПб., 1889.

1 слайд

2 слайд

Цели и задачи Целью нашего проекта является всесторонний анализ понятия «софизма», установление связи между софистикой и математикой, влияние софизмов на развитие логики. Мы поставили перед собой задачи: 1. Узнать: что же такое софизм? как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях? критерии классификации софизмов. 2. Составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6-10 классов.

3 слайд

Что такое софизм? Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

4 слайд

Немного из истории софизма Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами.

5 слайд

Немного из истории софизма Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов, которая их обосновывала и оправдывала. Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

6 слайд

Софизм «Мёд» - Скажи, - обращается софист к молодому любителю споров, - может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его? - Очевидно, нет. - Посмотрим. Мед сладкий? - Да. - И желтый тоже? - Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого? - Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый - это сладкий или нет? - Конечно, нет. Желтый - это желтый, а не сладкий. - Значит, желтый - это не сладкий? - Конечно. - О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согласился, что желтый значит не сладкий, и потому как бы сказал, что мед является сладким и не сладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.

7 слайд

Софизм «Учеба» The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study?

8 слайд

9 слайд

Логические ошибки Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма.

10 слайд

Терминологические ошибки Неточное или неправильное словоупотребление и построение фразы, более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения.

11 слайд

Психологические ошибки Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных психологических особенностей обеих индивидуальностей.

12 слайд

Формула успешности софизма Успешность софизма определяется следующей формулой: a + b + c + d + e + f, где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы. а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием). b - положительные качества лица (способность активно мыслить) с - аффективный элемент в душе искусного диалектика d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика f - пассивность слушателя

13 слайд

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным», - писал выдающийся ученый XVII века Блез Паскаль.

14 слайд

Сборник задач Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Тригонометрические софизмы

15 слайд

Алгебраические софизмы Все числа равны между собой Докажем, что 5=6. Запишем равенство: 35+10-45=42+12-54 Вынесем за скобку общие множители: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (он заключен в скобки): 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9). Значит, 5=6.

16 слайд

Геометрические софизмы Рассмотрим треугольник ABC. Проведем прямую MN параллельно AB так, как показано на рисунке. Теперь для любой точки L стороны AB проведем прямую CL, которая пересечет MN в точке K. Таким образом установим однозначное соответствие между отрезками AB и MN, т.е. они оба содержат одинаковое количество точек. Значит, имеют одинаковую длину.

18 слайд

Заключение Рассмотрев софизмы, мы узнали многое из мира логики. Даже небольшое представление о софизмах значительно расширяет кругозор. Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному. Жаль, что в школьном курсе математики не изучаются основы логики. Логическое мышление - ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается во всем.