کسرهای معمولی و اعشاری و عملیات روی آنها

در حال حاضر در مدرسه ابتدایی، دانش آموزان با کسری مواجه هستند. و سپس در هر موضوعی ظاهر می شوند. فراموش کردن اعمال با این اعداد غیرممکن است. بنابراین، شما باید تمام اطلاعات مربوط به کسرهای معمولی و اعشاری را بدانید. این مفاهیم ساده هستند، نکته اصلی این است که همه چیز را به ترتیب درک کنید.

چرا کسری مورد نیاز است؟

دنیای اطراف ما از اشیاء کامل تشکیل شده است. بنابراین نیازی به سهام نیست. اما زندگی روزمره دائماً افراد را به کار با بخش هایی از اشیاء و اشیا سوق می دهد.

به عنوان مثال، شکلات از چند برش تشکیل شده است. موقعیتی را در نظر بگیرید که کاشی آن توسط دوازده مستطیل تشکیل شده است. اگر آن را به دو قسمت تقسیم کنید، 6 قسمت به دست می آید. به خوبی به سه تقسیم خواهد شد. اما این پنج نفر قادر به دادن تعداد کامل برش های شکلات نخواهند بود.

به هر حال، این برش ها قبلاً کسری هستند. و تقسیم بیشتر آنها منجر به ظهور اعداد پیچیده تر می شود.

"کسری" چیست؟

این عددی است که از قسمت های یک تشکیل شده است. از نظر ظاهری، مانند دو عدد به نظر می رسد که با یک افقی یا اسلش از هم جدا شده اند. به این ویژگی کسری می گویند. عددی که در بالا (سمت چپ) نوشته شده است، شمارنده نامیده می شود. یکی در پایین (راست) مخرج است.

در واقع، نوار کسری معلوم می شود که یک علامت تقسیم است. یعنی صورت را می توان تقسیم و مخرج را تقسیم کننده نامید.

کسری چیست؟

در ریاضیات فقط دو نوع از آنها وجود دارد: کسرهای معمولی و اعشاری. دانش آموزان در کلاس های ابتدایی با اولین ها آشنا می شوند و آنها را به سادگی "کسری" می نامند. دوم در کلاس پنجم یاد می گیرند. آن وقت است که این نام ها ظاهر می شود.

کسرهای مشترک همه آنهایی هستند که به صورت دو عدد که با یک میله از هم جدا شده اند نوشته می شوند. مثلا 4/7. اعشاری عددی است که قسمت کسری آن علامت موقعیتی دارد و با کاما از عدد صحیح جدا می شود. به عنوان مثال، 4.7. دانش آموزان باید روشن باشند که دو مثال ارائه شده اعداد کاملاً متفاوتی هستند.

هر کسر ساده را می توان به صورت اعشاری نوشت. این جمله تقریباً همیشه برعکس نیز صادق است. قوانینی وجود دارد که به شما امکان می دهد کسر اعشاری را به عنوان یک کسر معمولی بنویسید.

این نوع کسری ها چه زیرگونه هایی دارند؟

بهتر است به ترتیب زمانی شروع شود، زیرا آنها در حال مطالعه هستند. کسری های معمولی اول هستند. در بین آنها 5 زیرگونه قابل تشخیص است.

درست. صورت آن همیشه کوچکتر از مخرج است.

اشتباه. صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج است.

تقلیل پذیر / غیر قابل تقلیل. می تواند درست یا غلط باشد. یک چیز دیگر مهم است که آیا صورت و مخرج فاکتورهای مشترکی دارند یا خیر. اگر وجود دارد، پس قرار است هر دو قسمت کسر را تقسیم کنند، یعنی آن را کاهش دهند.

مختلط. یک عدد صحیح به قسمت کسری صحیح (نادرست) معمول آن اختصاص داده می شود. و همیشه در سمت چپ می ایستد.

کامپوزیت. از دو بخش تقسیم شده به یکدیگر تشکیل شده است. یعنی سه ویژگی کسری در آن واحد دارد.

اعشار فقط دو زیرگونه دارند:

پایانی، یعنی چیزی که در آن جزء کسری محدود است (پایان دارد).

بی نهایت - عددی که ارقام آن بعد از نقطه اعشار به پایان نمی رسد (می توان آنها را بی پایان نوشت).

چگونه اعشار را به معمولی تبدیل کنیم؟

اگر این یک عدد متناهی است، یک ارتباط مبتنی بر قانون اعمال می شود - همانطور که می شنوم، بنابراین می نویسم. یعنی باید آن را درست بخوانید و یادداشت کنید، اما بدون کاما، اما با یک خط کسری.

به عنوان یک اشاره در مورد مخرج مورد نیاز، به یاد داشته باشید که همیشه یک و چند صفر است. دومی باید به تعداد ارقام قسمت کسری عدد مورد نظر نوشته شود.

چگونه کسرهای اعشاری را در صورتی که کل جزء آنها از دست رفته است، یعنی برابر با صفر، به معمولی تبدیل کنیم؟ به عنوان مثال، 0.9 یا 0.05. پس از اعمال قانون مشخص شده، معلوم می شود که باید اعداد صحیح صفر بنویسید. اما نشان داده نشده است. باقی مانده است که فقط قسمت های کسری را بنویسیم. برای عدد اول، مخرج 10 خواهد بود، برای دومی - 100. یعنی نمونه های نشان داده شده اعدادی را به عنوان پاسخ خواهند داشت: 9/10، 5/100. علاوه بر این، به نظر می رسد که دومی می تواند تا 5 کاهش یابد. بنابراین، نتیجه برای آن باید 1/20 نوشته شود.

چگونه یک کسری معمولی از اعشار بسازیم اگر قسمت صحیح آن با صفر متفاوت باشد؟ به عنوان مثال، 5.23 یا 13.00108. هر دو مثال قسمت صحیح را می خوانند و مقدار آن را می نویسند. در مورد اول، این 5، در مورد دوم، 13 است. سپس باید به قسمت کسری بروید. با آنها لازم است همان عملیات انجام شود. عدد اول 23/100، دومی 108/100000 دارد. مقدار دوم باید دوباره کاهش یابد. پاسخ کسرهای مختلط است: 5 23/100 و 13 27/25000.

چگونه یک اعشار نامتناهی را به کسری مشترک تبدیل کنیم؟

اگر غیر دوره ای باشد، نمی توان چنین عملیاتی را انجام داد. این واقعیت به این دلیل است که هر کسری اعشاری همیشه به صورت نهایی یا تناوبی تبدیل می شود.

تنها کاری که با چنین کسری مجاز است گرد کردن آن است. اما پس از آن اعشار تقریباً برابر با آن بی نهایت خواهد بود. در حال حاضر می توان آن را به یک معمولی تبدیل کرد. اما روند معکوس: تبدیل به اعشاری - هرگز مقدار اولیه را نمی دهد. یعنی کسرهای نامتناهی غیر تناوبی به کسر معمولی تبدیل نمی شوند. این را باید به خاطر داشت.

چگونه یک کسر تناوبی نامتناهی را به صورت معمولی بنویسیم؟

در این اعداد همیشه یک یا چند رقم بعد از اعشار ظاهر می شود که تکرار می شود. به آنها دوره می گویند. به عنوان مثال، 0.3 (3). اینجا "3" در دوره. آنها به عنوان منطقی طبقه بندی می شوند، زیرا می توانند به کسرهای معمولی تبدیل شوند.

کسانی که با کسرهای تناوبی مواجه شده اند می دانند که می توانند خالص یا مختلط باشند. در حالت اول، نقطه بلافاصله از کاما شروع می شود. در دوم، قسمت کسری با هر عددی شروع می شود و سپس تکرار شروع می شود.

قاعده ای که بر اساس آن باید یک اعشار نامتناهی را به شکل کسری معمولی بنویسید برای این دو نوع اعداد متفاوت خواهد بود. نوشتن کسرهای تناوبی خالص به عنوان کسرهای معمولی بسیار آسان است. مانند آخرین ها، آنها باید تبدیل شوند: نقطه را به صورت حساب بنویسید، و عدد 9 مخرج خواهد بود، به تعداد دفعاتی که رقم در نقطه وجود دارد تکرار می شود.

به عنوان مثال، 0، (5). عدد یک قسمت صحیح ندارد، بنابراین باید بلافاصله به قسمت کسری بروید. در صورت 5 بنویسید و در مخرج 9 بنویسید یعنی کسری 5/9 خواهد بود.

قانون نحوه نوشتن یک کسر اعشاری مشترک که یک کسر مختلط است.

به طول دوره نگاه کنید. خیلی 9 یک مخرج خواهد داشت.

مخرج را بنویسید: ابتدا 9 و سپس صفر.

برای تعیین عدد، باید تفاوت دو عدد را بنویسید. تمام ارقام بعد از نقطه اعشار به همراه نقطه کاهش می یابد. قابل تفریق - بدون دوره است.

به عنوان مثال، 0.5(8) - کسر اعشاری تناوبی را به عنوان کسری مشترک بنویسید. قسمت کسری قبل از نقطه یک رقمی است. پس صفر یک می شود. همچنین فقط یک رقم در دوره وجود دارد - 8. یعنی فقط یک نه وجود دارد. یعنی باید در مخرج 90 بنویسید.

برای تعیین عدد 58، باید 5 را کم کنید. معلوم می شود 53. به عنوان مثال، شما باید 53/90 را به عنوان پاسخ بنویسید.

کسرهای معمولی چگونه به اعشار تبدیل می شوند؟

ساده ترین گزینه عددی است که مخرج آن اعداد 10، 100 و ... باشد. سپس مخرج به سادگی کنار گذاشته می شود و یک کاما بین قسمت های کسری و عدد صحیح قرار می گیرد.

شرایطی وجود دارد که مخرج به راحتی به 10، 100 و غیره تبدیل می شود، به عنوان مثال، اعداد 5، 20، 25. کافی است آنها را به ترتیب در 2، 5 و 4 ضرب کنیم. فقط لازم است که نه تنها مخرج، بلکه صورتگر را نیز در همان عدد ضرب کنیم.

برای همه موارد دیگر، یک قانون ساده مفید خواهد بود: صورت را بر مخرج تقسیم کنید. در این مورد، ممکن است دو پاسخ دریافت کنید: یک کسر اعشاری نهایی یا تناوبی.

عملیات با کسرهای مشترک

جمع و تفریق

دانش آموزان زودتر از دیگران با آنها آشنا می شوند. و در ابتدا کسرها دارای مخرج یکسان و سپس متفاوت هستند. قوانین کلی را می توان به چنین طرحی تقلیل داد.

حداقل مضرب مشترک مخرج ها را پیدا کنید.

برای همه کسرهای معمولی عوامل اضافی بنویسید.

صورت و مخرج را در فاکتورهایی که برای آنها تعریف شده ضرب کنید.

اعداد کسرها را جمع کنید (کسر کنید) و مخرج مشترک را بدون تغییر رها کنید.

اگر عدد مینیوند از عدد فرعی کوچکتر باشد، باید بفهمید که آیا عدد مختلط داریم یا کسری مناسب.

در حالت اول، قسمت صحیح باید یک را بگیرد. به صورت کسری مخرج اضافه کنید. و سپس تفریق را انجام دهید.

در دوم - لازم است قانون تفریق را از یک عدد کوچکتر به یک بزرگتر اعمال کنید. یعنی مدول minuend را از مدول subtrahend کم کنید و در پاسخ علامت "-" قرار دهید.

با دقت به نتیجه جمع (تفریق) نگاه کنید. اگر کسری نامناسب دریافت کردید، قرار است کل قسمت را انتخاب کنید. یعنی صورت را بر مخرج تقسیم کنید.

ضرب و تقسیم

برای اجرای آنها، کسرها نیازی به کاهش به یک مخرج مشترک ندارند. این کار باعث می شود که اقدامی آسان تر شود. اما آنها همچنان باید قوانین را رعایت کنند.

هنگام ضرب کسرهای معمولی، باید اعداد موجود در صورت و مخرج را در نظر گرفت. اگر هر صورت و مخرج یک عامل مشترک داشته باشد، می توان آنها را کاهش داد.

اعداد را ضرب کن

مخرج ها را ضرب کنید.

اگر کسری تقلیل پذیر بدست آورید، پس قرار است دوباره ساده شود.

هنگام تقسیم، ابتدا باید تقسیم را با ضرب، و مقسوم علیه (کسر دوم) را با یک متقابل جایگزین کنید (عدد و مخرج را عوض کنید).

سپس مانند ضرب ادامه دهید (از مرحله 1 شروع کنید).

در کارهایی که باید در یک عدد صحیح ضرب (تقسیم) کنید، فرضاً دومی به عنوان یک کسر نامناسب نوشته می شود. یعنی با مخرج 1. سپس همانطور که در بالا توضیح داده شد عمل کنید.



عملیات با اعشار

جمع و تفریق

البته همیشه می توانید اعشار را به کسری مشترک تبدیل کنید. و طبق طرحی که قبلا توضیح داده شده عمل کنید. اما گاهی اوقات راحت تر است که بدون این ترجمه عمل کنید. سپس قوانین جمع و تفریق آنها دقیقاً یکسان خواهد بود.

تعداد ارقام را در قسمت کسری عدد یعنی بعد از نقطه اعشار برابر کنید. عدد صفرهای از دست رفته را در آن اختصاص دهید.

کسرها را طوری بنویسید که کاما زیر کاما باشد.

مانند اعداد طبیعی جمع (تفریق) کنید.

کاما را بردارید.

ضرب و تقسیم

مهم است که نیازی به اضافه کردن صفر در اینجا ندارید. قرار است کسرها همانطور که در مثال آورده شده است باقی بمانند. و سپس طبق برنامه پیش بروید.

برای ضرب، باید کسرها را یکی زیر دیگری بنویسید، بدون توجه به کاما.

مثل اعداد طبیعی ضرب کنید.

در پاسخ یک کاما قرار دهید و از انتهای سمت راست پاسخ به تعداد ارقام در قسمت های کسری هر دو عامل بشمارید.

برای تقسیم، ابتدا باید مقسوم علیه را تبدیل کنید: آن را به یک عدد طبیعی تبدیل کنید. یعنی با توجه به اینکه در قسمت کسری مقسوم علیه چند رقم باشد آن را در 10 و 100 و ... ضرب کنید.

سود تقسیمی را در همان عدد ضرب کنید.

یک اعشار را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید.

در لحظه ای که تقسیم کل قسمت تمام می شود، در پاسخ کاما قرار دهید.



اگر هر دو نوع کسر در یک مثال وجود داشته باشد چه؟

بله، در ریاضیات اغلب نمونه هایی وجود دارد که در آنها باید عملیاتی را روی کسرهای معمولی و اعشاری انجام دهید. دو راه حل ممکن برای این مشکلات وجود دارد. شما باید به طور عینی اعداد را بسنجید و بهترین را انتخاب کنید.

راه اول: نمایش اعشار معمولی

اگر هنگام تقسیم یا تبدیل، کسرهای نهایی به دست آید، مناسب است. اگر حداقل یک عدد قسمت تناوبی بدهد، این تکنیک ممنوع است. بنابراین، حتی اگر کار با کسرهای معمولی را دوست ندارید، باید آنها را بشمارید.

راه دوم: کسرهای اعشاری را معمولی بنویسید

اگر 1-2 رقم در قسمت بعد از نقطه اعشار وجود داشته باشد، این تکنیک راحت است. اگر تعداد آنها بیشتر باشد، یک کسر معمولی بسیار بزرگ می تواند ظاهر شود و ورودی های اعشاری به شما امکان می دهد کار را سریع تر و آسان تر محاسبه کنید. بنابراین، همیشه لازم است که کار را با هوشیاری ارزیابی کنید و ساده ترین روش حل را انتخاب کنید.