پراکندگی تخمینی، انحراف استاندارد.

X i -مقادیر تصادفی (جاری)؛

ایکس– مقدار متوسط ​​متغیرهای تصادفی در نمونه با فرمول محاسبه می شود:

بنابراین، واریانس مجذور میانگین انحرافات است . یعنی مقدار متوسط ​​ابتدا محاسبه می شود، سپس گرفته می شود تفاوت بین هر مقدار اصلی و میانگین، مربع ، اضافه می شود و سپس بر تعداد مقادیر در جمعیت داده شده تقسیم می شود.

تفاوت بین مقدار فردی و میانگین نشان دهنده اندازه گیری انحراف است. این مربع برای اطمینان از اینکه همه انحرافات منحصراً به اعداد مثبت تبدیل می شوند و از لغو متقابل انحرافات مثبت و منفی در هنگام جمع شدن آنها جلوگیری می کند. سپس با توجه به مجذور انحرافات، به سادگی میانگین حسابی را محاسبه می کنیم.

سرنخ کلمه جادویی "پراکندگی" فقط در این سه کلمه نهفته است: میانگین - مربع - انحرافات.

انحراف استاندارد (RMS)

با گرفتن ریشه دوم پراکندگی، به اصطلاح " انحراف معیار".اسامی وجود دارد "انحراف استاندارد" یا "سیگما" (از نام حرف یونانی σ .). فرمول انحراف معیار:

بنابراین، واریانس به صورت مجذور سیگما یا - مجذور انحراف استاندارد است.

انحراف استاندارد، بدیهی است که اندازه پراکندگی داده ها را نیز مشخص می کند، اما اکنون (برخلاف پراکندگی) می توان آن را با داده های اصلی مقایسه کرد، زیرا آنها واحدهای اندازه گیری یکسانی دارند (این از فرمول محاسبه مشخص است). دامنه تغییرات تفاوت بین مقادیر شدید است. انحراف استاندارد به عنوان معیار عدم قطعیت نیز در بسیاری از محاسبات آماری دخیل است. با کمک آن، درجه دقت تخمین ها و پیش بینی های مختلف مشخص می شود. اگر تغییرات بسیار زیاد باشد، انحراف استاندارد نیز زیاد خواهد بود، بنابراین، پیش بینی نادرست خواهد بود، که به عنوان مثال، در فواصل اطمینان بسیار گسترده بیان می شود.

بنابراین در روش های پردازش داده های آماری در ارزیابی املاک، بسته به دقت مورد نیاز کار، از قانون دو یا سه سیگما استفاده می شود.

برای مقایسه قانون دو سیگما و قانون سه سیگما از فرمول لاپلاس استفاده می کنیم:

F - F،

که در آن Ф(x) تابع لاپلاس است.

حداقل ارزش

β = حداکثر مقدار

s = مقدار سیگما (انحراف استاندارد)

a = مقدار متوسط

در این مورد، یک شکل خاص از فرمول لاپلاس زمانی استفاده می شود که مرزهای α و β مقادیر متغیر تصادفی X به طور مساوی از مرکز توزیع a = M(X) با مقداری d فاصله داشته باشند: a = a-d. ، b = a+d. یا (1) فرمول (1) احتمال یک انحراف معین d از یک متغیر تصادفی X را با قانون توزیع نرمال از انتظارات ریاضی آن M(X) = a تعیین می کند. اگر در فرمول (1) به طور متوالی d = 2s و d = 3s را بگیریم، آنگاه خواهیم داشت: (2)، (3).

قانون دو سیگما

تقریباً با اطمینان (با احتمال اطمینان 0.954) می توان استدلال کرد که تمام مقادیر یک متغیر تصادفی X با قانون توزیع نرمال از انتظار ریاضی آن M(X) = a به مقداری که بیشتر از 2 ثانیه نباشد (دو استاندارد) انحراف دارند. انحرافات). احتمال اطمینان (Pd) احتمال رویدادهایی است که به طور مشروط به عنوان قابل اعتماد پذیرفته می شوند (احتمال آنها نزدیک به 1 است).

بیایید قانون دو سیگما را به صورت هندسی نشان دهیم. روی انجیر شکل 6 یک منحنی گاوسی با مرکز توزیع a را نشان می دهد. مساحت محدود شده توسط کل منحنی و محور Ox 1 (100%) است و مساحت ذوزنقه منحنی بین آبسیساهای a-2s و a+2s، طبق قانون دو سیگما، 0.954 (95.4٪) است. از کل مساحت). مساحت مناطق سایه دار برابر با 1-0.954 = 0.046 (> 5٪ از کل مساحت) است. این بخش ها محدوده بحرانی متغیر تصادفی نامیده می شوند. مقادیر یک متغیر تصادفی که در منطقه بحرانی قرار می گیرد بعید است و در عمل به صورت مشروط غیرممکن در نظر گرفته می شود.

احتمال مقادیر غیرممکن مشروط را سطح معنی داری یک متغیر تصادفی می نامند. سطح معنی داری با فرمول زیر به سطح اطمینان مربوط می شود:

که در آن q سطح معنی داری است که به صورت درصد بیان می شود.

قانون سه سیگما

هنگام حل مسائلی که نیاز به قابلیت اطمینان بیشتری دارند، زمانی که احتمال اطمینان (Pd) برابر با 0.997 (به طور دقیق تر 0.9973) در نظر گرفته شود، به جای قانون دو سیگما، طبق فرمول (3)، از قانون استفاده می شود. سه سیگما

مطابق با قانون سه سیگمابا سطح اطمینان 0.9973، منطقه بحرانی منطقه مقادیر مشخصه خارج از بازه (a-3s, a+3s) خواهد بود. سطح معنی داری 0.27 درصد است.

به عبارت دیگر، احتمال اینکه قدر مطلق انحراف از سه برابر انحراف استاندارد بیشتر شود، بسیار کم است، یعنی 0.0027=1-0.9973. این بدان معنی است که فقط در 0.27٪ موارد ممکن است این اتفاق بیفتد. چنین وقایعی را بر اساس اصل عدم امکان وقوع حوادث بعید می توان عملاً غیرممکن دانست. آن ها نمونه برداری با دقت بالا

این ماهیت قانون سه سیگما است:

اگر یک متغیر تصادفی به طور معمول توزیع شود، قدر مطلق انحراف آن از انتظارات ریاضی از سه برابر انحراف استاندارد (RMS) تجاوز نمی کند.

در عمل، قانون سه سیگما به صورت زیر اعمال می شود: اگر توزیع متغیر تصادفی مورد مطالعه ناشناخته باشد، اما شرط مشخص شده در قانون داده شده برقرار باشد، دلیلی وجود دارد که فرض کنیم متغیر مورد مطالعه به طور نرمال توزیع شده است. در غیر این صورت، به طور معمول توزیع نمی شود.

سطح اهمیت بسته به درجه مجاز خطر و وظیفه گرفته می شود. برای ارزیابی املاک و مستغلات، معمولاً با پیروی از قانون دو سیگما، نمونه ای با دقت کمتر گرفته می شود.