Дано:
Перетин піраміди та призми
Необхідно:
Побудувати розгортку прямої призми та показати на ній лінію перетину призми з пірамідою.

Побудова розгорнення прямої призми набагато легша, ніж розгортка піраміди.

Побудова розгортки призми

Побудова розгортки прямий призми полегшується тим, що це розміри для розгортки беруться з эпюр і нам треба шукати натуральні величини ребер призми. Оскільки дана пряма призма, то бічні ребра призми проектуються на передню площину проекцій у натуральну величину. Ребра підстав прямої призми паралельні горизонтальній площині проекцій та проектуються на неї також у натуральну величину.

Алгоритм побудови розгортки призми

• Проводимо горизонтальну пряму.
• Від довільної точки G цієї прямої відкладаємо відрізки GU, UE, ЕК, КG рівні довжинам сторін підстави призми.
• З точок G, U, ... відновлюють перпендикуляри і відкладають величини рівні висоті призми. Отримані точки з'єднують прямою. Прямокутник GG1G1G є розгорткою бічної поверхні призми. Для вказівки на розгортанні граней призми з точок U, E, K відновлюють перпендикуляри.
• Для отримання повної розгортки поверхні призми до розгортки поверхні пристосовують багатокутники її основ.

Для побудови на розгортку лінії перетину призми з пірамідою замкнутих ламаних ліній 1, 2, 3 та 4, 5, 6, 7, 8 користуємося вертикальними прямими.

Докладніше у відеоуроці з накреслювальної геометрії в Автокад

Призма – об'ємна фігура, багатогранник, видів якого дуже багато: позитивні та неправильні, прямі та похилі. По фігурі, що лежить в основі, призма буває від трикутної до багатокутної. Простіше кожного зробити пряму призму, а от над похилою треба трохи більше попрацювати.

Вам знадобиться

• – циркуль;
• - Лінійка;
• - олівець;
• - Ножиці;
• - Клей;
• - Папір або картон.

Інструкція

1. Накресліть підстави призми, у цьому випадку це будуть 2 шестикутники. Для того, щоб накреслити правильний шестикутник, скористайтеся циркулем. Намалюйте їм коло, і за допомогою цього ж радіусу поділіть коло на шість частин (у вірного шестикутника сторони рівні радіусу описаного кола). Фігура, що вийшла, нагадує осередок бджолиного стільника. Неправильний шестикутник накресліть довільно, але за допомогою лінійки.

2. Тепер приступайте до проектування «викрійки». Стінками призми є паралелограми і вам необхідно їх накреслити. У прямій моделі паралелограмом буде легкий прямокутник. І його ширина буде незмінно дорівнює стороні шестикутника, що лежить на підставі призми. При вірній фігурі в основі всі грані призми будуть рівні між собою. При неправильній – всій стороні шестикутника відповідатиме лише один паралелограм (одна бічна грань), що підходить за розміром. При цьому слідкуйте за послідовністю розмірів граней.

3. На горизонтальній прямій ступінчасто відкладіть 6 відрізків, рівних стороні основи шестикутника. З отриманих точок проведіть перпендикулярні лінії необхідної висоти. Кінці перпендикулярів об'єднайте 2 горизонтальною лінією. У вас вийшло 6 прямокутників, об'єднаних разом.

4. Прилаштуйте до нижньої та верхньої сторони одного з прямокутників 2, сконструйованих раніше шестикутника. До будь-якої основи, якщо вона позитивна, і до відповідної по довжині, якщо шестикутник неправильний. Обведіть силует суцільною лінією, а лінії згину всередині фігури – пунктирною. У вас вийшла розгортка поверхні прямої призми.

5. Для створення похилої призми основи залиште такими самими. Накресліть сторону-паралелограм, яка буде однією з граней. Таких граней має бути шість, як ви пам'ятаєте. Щоб сьогодні накреслити розгортку похилої призми, треба розташувати шість паралелограмів надалі: три за зростанням, так, щоб їх косі сторони утворили одну лінію, далі три за спаданням з тією ж умовою. Крутизна лінії прямо пропорційна градусу нахилу призми.

6. До п'яти прямокутників у розгортці намалюйте невеликі трапецієподібні захлестки на коротких сторонах для склеювання фігури, а також на одній вільній довгій стороні. Виріжте заготівлю для призми разом із захльостами і склейте модель.

Призма – це прилад, який розділяє типове світло на окремі кольори: червоний, оранжевий, жовтий, зелений, блакитний, синій, фіолетовий. Це світлопроникний об'єкт, з плоскою поверхнею, яка заломлює світлові хвилі в залежності від їх довжин і тому дозволяє побачити світло в різних кольорах. Зробити призмусамостійно досить легко.

Вам знадобиться

• Два аркуші паперу
• Фольга
• Склянка
• Компакт диск
• Кавовий столик
• Ліхтарик
• Булавка

Інструкція

1. Призму можна зробити з простої склянки. Наповніть склянку водою трохи більше ніж наполовину. Розмістіть склянку на край кавового столика так, щоб приблизно половина дна склянки повисла у повітрі. При цьому стежте, щоб склянка стояла на столі стійко.

2. Покладіть два аркуші паперу один за одним поряд із кавовим столом. Увімкніть ліхтар і посвітите промінчиків світла через склянку, щоб він падав на папір.

3. Регулюйте розташування ліхтаря та паперу до тих пір, поки не побачите на листах веселку – так ваш промінь світла розкладається на спектри.

Відео на тему

Базовою навичкою художника в академічному малюнку є знання зображати на площині найпростіші об'ємні геометричні форми – куб, призму, циліндр, конус, піраміду та кулю. Володіючи цим досвідом, можна будувати більш складні, комбіновані об'ємні форми архітектурних та інших об'єктів. Призма – це багатогранник, дві грані (основи) якого мають ідентичну форму та паралельні один одному. Бічні грані призми є паралелограмами. За кількістю бічних граней призми можуть бути 3-, чотиригранними і т.д.

Вам знадобиться

• - Папір для малювання;
• - Примітивні олівці;
• - Мольберт;
• - призма або предмет, що має форму призми (дерев'яний брусок, коробка, шкатулка, деталь дитячого конструктораі т.п.), бажано білого кольору.

Інструкція

1. Звести призмудозволено, вписавши її або паралелепіпед, або циліндр. Стрижневою складністю при малюванні призми є позитивна побудова форми 2-х граней її основи. При малюванні призми, що лежить на одній з бічних граней, з'являється додаткова труднощі дотримання законів перспективи, тому що в такому розташуванні стає помітним перспективне скорочення бічних граней.

2. Малювання вертикально розташованої призми почніть із позначення її центральної осі – вертикальної лінії, проведеної посередині аркуша. На лінії осі позначте центр верхньої (видимої) грані основи та проведіть через цю точку горизонтальну лінію. Визначте співвідношення висоти і ширини призми способом візування: подивіться на натуру, прикривши одне око, і, тримаючи олівець у витягнутій руці на ярусі очей, помітте пальцем на олівці видиму з вашого погляду ширину призми і покладіть цю відстань по лінії висоти призми. разів (скільки вийде).

3. Відмірюючи відрізки олівцем вже на малюнку, позначте ширину і висоту призми крапками на двох намальованих раніше лініях, дотримуючись отриманого співвідношення. Намалюйте еліпс довкола центру верхньої грані. Старайтеся правильно передати його уявну форму, дивлячись на натуру. Намалюйте приблизно такий самий еліпс (але менш сплюснутий) та у площині нижньої грані основи призми. Отримані еліпси поєднайте двома вертикальними лініями.

4. Зараз на верхньому еліпсі необхідно відмітити відрізки перетину бічних граней та її основ. Дивлячись на натуру, позначте крапки – вершини багатокутника – лежачого в основі призми, як ви їх бачите, і східчасто поєднайте їх між собою. З цих точок проведіть лінії вниз до перетину нижнього еліпса. Отримані точки перетину також об'єднайте. При подальшому малюванні грані, помітні з обраної точки зору, стираються або заштриховуються, тому всі допоміжні лінії побудови малюйте без натиску.

5. Що лежить на боці призмунамалюйте за допомогою допоміжного паралелепіпеда. Орієнтуючись на натуру, викресліть паралелепіпед, дотримуючись тези перспективи - лінії бічних ребер при їх уявному продовженні до лінії горизонту, що знаходиться незмінно на ярусі очей глядача, сходяться в одній точці. Отже далека від нас (помітна) грань буде трохи менше передньої. При визначенні співвідношень сторін паралелепіпеда користуйтеся методом «витягнутої руки» (або візування).

6. На передній і задній квадратних гранях позначте вершини багатокутників, що лежать в основі призми, та побудуйте їх. Поєднайте ці точки попарно на 2-х гранях - намалюйте бічні ребра призми. Видаліть непотрібні лінії. Більш близькі до вас лінії ребер та кути призми виділіть пожирніше, а віддалені позначте легкими лініями.

7. Дивлячись на натуру, визначте кут падіння світла, найяснішу, найзатіненішу грані і за допомогою штрихування різної інтенсивності передайте ці світлові співвідношення в малюнку. Намалюйте тінь, що падає від предмета. Рубіж дотику призми і столу підкресліть темною лінією. Зверніть увагу, що на затінену грань призми знизу падає світло, відбите від поверхні столу (рефлекс), і трохи помітно її висвітлює. При накладанні штрихування на цю грань врахуйте даний результаті на місці рефлексу накладіть менш насичений тон.

Відео на тему

Призма – це багатогранник, освічений будь-яким фінальним числом граней, дві у тому числі – підстави – обов'язково мають бути паралельні. Будь-яка пряма лінія, проведена перпендикулярно до основ, містить з'єднувальний їх відрізок, званий висотою призми. Якщо всі бічні грані примикають до обох підстав під кутом 90°, призма називається прямий .

Вам знадобиться

• Креслення призми, олівець, лінійка.

Інструкція

1. В прямий призмівсяке бічне ребро за визначенням перпендикулярно до основи. А відстань між паралельними площинами бічних граней ідентична у кожній точці, зокрема й у тих точках, де бічне ребро примикає до них. З цих двох причин випливає, що довжина ребра будь-якої бічної грані прямийпризми дорівнює висоті цієї об'ємної фігури. Отже, якщо у вас є креслення, на якому зображений такий багатогранник, на ньому вже є відрізки (ребра бічних граней), весь з яких можна позначити і як висоту призми. Якщо це не заборонено умовами завдання, примітивно позначте будь-яке бічне ребро як висоту, і завдання буде вирішено.

2. Якщо потрібно провести на кресленні висоту, що не співпадає з бічними ребрами, накресліть паралельний будь-якому з цих ребер відрізок, що з'єднує основи. Не завжди це можна зробити «на око», тому побудуйте дві допоміжні діагоналі на бічних гранях - об'єднайте пару будь-яких кутів на верхньому і відповідну їм пару на нижній підставі. Після цього відміряйте на верхній діагоналі будь-яку комфортну відстань і поставте крапку – це буде перетин висоти з верхньою основою. На нижній діагоналі відміряйте таку ж відстань і поставте другу точку – перетин висоти з нижньою основою. Об'єднайте ці точки відрізком, і побудова висоти прямийпризми буде завершено.

3. Призма може бути зображена з урахуванням перспективи, тобто довжини ідентичних ребер фігури можуть мати на малюнку різну довжину, бічні грані можуть примикати до підстав під різними і не обов'язково прямими кутами і т.д. У цьому випадку, щоб правильно дотримуватися пропорції, дійте так само, як описано в попередньому етапі, але точки на верхній і нижній діагоналях ставте правильно в їх серединах.

Детально – як скласти аркуш паперу та вирізати чудову сніжинку.

Вам знадобиться

• Аркуш паперу, у мене - звичайний лист А4, краще купувати великі серветки
• Ножиці

Інструкція

1. Звертаємо лист впоперек удвічі

2. Тепер по вдвічі, тільки для того, щоб знайти середину

3. Загортаємо краї паперу, складеного вдвічі, по черзі – видно як на фото

4. Стежимо, щоб листок загнувся поступово, і кінці діставали до згинів.

5. Наразі згортаємо вдвічі отриманий конвертик. Потрібно потренуватися, щоб досягти того, щоб зовнішній край листа доходив рівно до згину.

6. Поки навички немає, класніше малювати приблизний силует сніжинки завчасно.

7. Акуратно вирізаємо по силуету.

8. Старанно розвертаємо.

Зверніть увагу!
Пам'ятайте, що неможливо робити наскрізний розріз, сніжинка розпадеться на частини.

Корисна порада
Чим тонший папір, тим простіше вирізати сніжинку. Можна робити сніжинки і з фольги.

Зверніть увагу!
У розгортці похилої призми не кресліть її грані під занадто величезним кутом, а модель буде нестійкою.

Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.

Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призмиє прямокутником

Перпендикулярний перетин (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ усіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ усіх підстав та бічних граней (сума площі бічної поверхні та підстав)
• Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
• Діагональ B 1 D
• Діагональ основи BD
• Діагональний переріз BB 1 D 1 D
• Перпендикулярне перетин A 2 B 2 C 2 D 2 .

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівні квадрати
• Підстави паралельні один одному
• Боковими гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні до основ
• Бічні ребра паралельні між собою та рівні
• Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічних ребрів і паралельно основам.
• Кути перпендикулярного перетину - прямі
• Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
• Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

Під час вирішення завдань на тему " правильна чотирикутна призмамається на увазі, що:

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні до площин основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореня у розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см 2 , а висота 14 см. Знайти діагональ призми та площу повної поверхні.

Рішення.
Правильний чотирикутник – це квадрат.
Відповідно, сторона основи буде рівна

√144 = 12 см.
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.

Рішення.
Оскільки на підставі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі підстави

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

В основі геометричного тіла – призми лежать багатокутники, а кожна бічна грань – паралелограм. Непосвячений, можливо, трохи злякався. Але якщо вашу дитину просять прийти на урок із призмою, ви, природно, захочете допомогти їй та пояснити, як зробити призму з паперу.

Почнемо із виготовлення прямої призми. У цій призмі бічні ребра перпендикулярні до основ. Найбільш проста у виготовленні своїми руками призму з паперу з трьома гранями, тому що в його основах лежать найпростіші з багатокутників – трикутники. Виготовимо "правильну" призму. У неї підстави є рівносторонніми трикутниками.

Трикутна призма

Продумаємо, якою буде наша трикутна призма з паперу. Накреслимо прямокутник-з однією стороною, що дорівнює висоті, а іншою - рівною довжині периметру трикутника в підставі. Отриманий прямокутник розділимо паралельними прямими на три рівні частини. Від кутів прямокутника, що знаходиться в середині, циркулем проведемо кола з радіусом, рівним стороні нашого трикутника в основі. Де кола перетнуться поза межами початкового прямокутника, поставимо крапки і з'єднаємо їх із центрами окружностей. Ми маємо отримати фігуру, зображену у середині малюнка. Далі фігуру вирізаємо з невеликими припусками для склеювання, згинаємо по наявних прямих лініях і отримуємо готову призму.

За яким шаблоном виготовляється призма з паперу із чотирма гранями, наочно демонструє схема малюнку.

Шестикутна призма

Приклад заготівлі для п'ятигранної призми представлений малюнку. Тут висота піраміди 10 см, довжина сторін у п'ятигранника в основі по 3 см. Схожим чином може бути виготовлена ​​шестикутна призма з паперу, але в її основі лежить шестикутник.

Похила призма

Похила призма з паперу представлена ​​цьому малюнку. Її бічні грані знаходяться під кутом до основи. Таку призму можна виготовити за шаблоном-розгорткою.